A velocidade de um fluido bidimensional é dada por
. Supondo que o fluido seja incompressível (ou seja,
) e irrotacional, prove que valem as condições de Cauchy-Riemann
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- O campo de velocidade bidimensional é
. - O fluido é incompressível:
. - O fluido é irrotacional:
.
O que se pede: provar que as seguintes igualdades (condições de Cauchy–Riemann) são verdadeiras:
Passo 2
Vou lembrar e explicar as fórmulas operacionais que vou usar (isso é importante para você aplicar na prova):
- O operador nabla em coordenadas cartesianas é
. Para um campo bidimensional só aparecem as componentes em e . - A divergência de um campo vetorial
é definida por
Intuitivamente, a divergência mede a taxa líquida de “sair” de fluxo por unidade de volume.
- O rotacional em duas dimensões tem só a componente em
(perpendicular ao plano): para ,
Isto mede a tendência do campo girar no plano; ser irrotacional significa que essa componente vale zero.
Observação sobre notação de derivadas: escrevo
quando conveniente, mas aqui usarei a notação explícita
para ficar claro.
Passo 3
Identificar as componentes do campo dado. No enunciado temos
Portanto, comparando com
, as componentes são
Agora aplico a condição de incompressibilidade
usando a fórmula da divergência:
Calcule as derivadas parciais explicitamente:
Como o fluido é incompressível isso deve ser zero, logo
Rearranjando obtemos a primeira condição desejada:
Passo 4
Agora uso a condição de irrotacionalidade. Para o campo
a componente
do rotacional é
Lembrando que
e
, substituo:
Calcule as derivadas parciais:
Como o fluido é irrotacional, essa quantidade vale zero, então
Rearranjando obtemos a segunda condição desejada:
Passo 5
Resumo e explicação final do porquê isso é “Cauchy–Riemann”: juntando as igualdades obtidas nos passos anteriores temos exatamente
Essas são as condições de Cauchy–Riemann. Intuitivamente, elas dizem que as variações de
e
estão rigidamente ligadas — é por isso que em teoria das funções complexas elas caracterizam quando duas funções reais são conjugadas harmônicas; em hidrodinâmica elas surgem porque incompressibilidade e ausência de vorticidade impõem essas relações entre as componentes da velocidade.