A velocidade de um fluido bidimensional é dada por \vec{v}=\vec{v}(x, y)=u(x, y) \hat{\imath}-v(x, y) \hat{\jmath}. Supondo que o fluido seja incompressível (ou seja, \nabla \cdot \vec{v}=0 ) e irrotacional, prove que valem as condições de Cauchy-Riemann
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • O campo de velocidade bidimensional é \vec{v}(x,y)=u(x,y)\,\hat{\imath}-v(x,y)\,\hat{\jmath}.
  • O fluido é incompressível: \nabla\cdot\vec{v}=0.
  • O fluido é irrotacional: \nabla\times\vec{v}=\vec{0}.
O que se pede: provar que as seguintes igualdades (condições de Cauchy–Riemann) são verdadeiras:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 2

Vou lembrar e explicar as fórmulas operacionais que vou usar (isso é importante para você aplicar na prova):
  • O operador nabla em coordenadas cartesianas é \nabla=\hat{\imath}\,\dfrac{\partial}{\partial x}+\hat{\jmath}\,\dfrac{\partial}{\partial y}+\hat{k}\,\dfrac{\partial}{\partial z}. Para um campo bidimensional só aparecem as componentes em x e y.
  • A divergência de um campo vetorial \vec{w}=w_x\,\hat{\imath}+w_y\,\hat{\jmath} é definida por
\nabla\cdot\vec{w}=\frac{\partial w_x}{\partial x}+\frac{\partial w_y}{\partial y}.
Intuitivamente, a divergência mede a taxa líquida de “sair” de fluxo por unidade de volume.
  • O rotacional em duas dimensões tem só a componente em z (perpendicular ao plano): para \vec{w}=w_x\,\hat{\imath}+w_y\,\hat{\jmath},
(\nabla\times\vec{w})\cdot\hat{k}=\frac{\partial w_y}{\partial x}-\frac{\partial w_x}{\partial y}.
Isto mede a tendência do campo girar no plano; ser irrotacional significa que essa componente vale zero.
Observação sobre notação de derivadas: escrevo \dfrac{\partial w_x}{\partial x}=w_{x}\!{}_x quando conveniente, mas aqui usarei a notação explícita \dfrac{\partial}{\partial x} para ficar claro.

Passo 3

Identificar as componentes do campo dado. No enunciado temos
\vec{v}=u(x,y)\,\hat{\imath}-v(x,y)\,\hat{\jmath}.
Portanto, comparando com \vec{w}=w_x\,\hat{\imath}+w_y\,\hat{\jmath}, as componentes são
w_x = u(x,y),\qquad w_y = -\,v(x,y).
Agora aplico a condição de incompressibilidade \nabla\cdot\vec{v}=0 usando a fórmula da divergência:
\nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(u(x,y)\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-v(x,y)\bigr).
Calcule as derivadas parciais explicitamente:
\nabla\cdot\vec{v}= \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}.
Como o fluido é incompressível isso deve ser zero, logo
\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Rearranjando obtemos a primeira condição desejada:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}.

Passo 4

Agora uso a condição de irrotacionalidade. Para o campo \vec{v} a componente z do rotacional é
(\nabla\times\vec{v})\cdot\hat{k}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(w_y\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(w_x\bigr).
Lembrando que w_y=-v e w_x=u, substituo:
(\nabla\times\vec{v})\cdot\hat{k}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-v(x,y)\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(u(x,y)\bigr).
Calcule as derivadas parciais:
(\nabla\times\vec{v})\cdot\hat{k}= -\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.
Como o fluido é irrotacional, essa quantidade vale zero, então
- \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0.
Rearranjando obtemos a segunda condição desejada:
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 5

Resumo e explicação final do porquê isso é “Cauchy–Riemann”: juntando as igualdades obtidas nos passos anteriores temos exatamente
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
Essas são as condições de Cauchy–Riemann. Intuitivamente, elas dizem que as variações de u e v estão rigidamente ligadas — é por isso que em teoria das funções complexas elas caracterizam quando duas funções reais são conjugadas harmônicas; em hidrodinâmica elas surgem porque incompressibilidade e ausência de vorticidade impõem essas relações entre as componentes da velocidade.

Resposta

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}

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