Dado um campo escalar f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} e campos vetoriais \vec{u}=\vec{u}(x, y, z) e \vec{v}=\vec{v}(x, y, z), mostre que \nabla \times(f \vec{u})=f \nabla \times \vec{u}+(\nabla f) \times \vec{u}
Passo 1
O enunciado dá:
Uma função escalar f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}.
Um campo vetorial \vec{u}=\vec{u}(x,y,z) com componentes dependentes de x,y,z.
A tarefa é mostrar a identidade vetorial
Ou seja: calcular o rotacional de f\vec{u} e provar que ele se separa em duas parcelas — uma com f multiplicando o rotacional de \vec{u} e outra envolvendo o gradiente de f cruzado com \vec{u}.
Passo 2
Lembrando as definições que vamos usar (explicando cada símbolo):
O gradiente de f é o vetor dos derivadas parciais:
Observe que a segunda parcela é exatamente a fórmula do produto vetorial (\nabla f)\times\vec{u} usando \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z).
Passo 7
Portanto, compactando a expressão vetorial chegamos à identidade desejada:
Intuitivamente isto é um análogo vetorial da regra do produto: o rotacional de um produto escalar vezes um vetor se divide numa parte onde o escalar “sai” multiplicando o rotacional do vetor e numa parte nova devido à variação espacial do escalar, dada por (\nabla f)\times\vec{u}.