Dado um campo escalar f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} e campos vetoriais \vec{u}=\vec{u}(x, y, z) e \vec{v}=\vec{v}(x, y, z), mostre que
\nabla \times(f \vec{u})=f \nabla \times \vec{u}+(\nabla f) \times \vec{u}

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma função escalar f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}.
  • Um campo vetorial \vec{u}=\vec{u}(x,y,z) com componentes dependentes de x,y,z.
    A tarefa é mostrar a identidade vetorial
\nabla\times(f\vec{u})=f\,\nabla\times\vec{u}+(\nabla f)\times\vec{u}.
Ou seja: calcular o rotacional de f\vec{u} e provar que ele se separa em duas parcelas — uma com f multiplicando o rotacional de \vec{u} e outra envolvendo o gradiente de f cruzado com \vec{u}.

Passo 2

Lembrando as definições que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • O gradiente de f é o vetor dos derivadas parciais:
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Cada componente \frac{\partial f}{\partial x} significa "a taxa de variação de f em relação a x" mantendo y,z fixos.
  • O rotacional (ou curl) de um campo vetorial \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) é definido componente a componente por
\nabla\times\vec{w}=\left(\frac{\partial w_3}{\partial y}-\frac{\partial w_2}{\partial z},\;\frac{\partial w_1}{\partial z}-\frac{\partial w_3}{\partial x},\;\frac{\partial w_2}{\partial x}-\frac{\partial w_1}{\partial y}\right).
Isto vem da fórmula usual com determinante envolvendo a operação \nabla.
  • O produto vetorial entre dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) tem componentes
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_2 b_3-a_3 b_2,\;a_3 b_1-a_1 b_3,\;a_1 b_2-a_2 b_1\big).
Essas fórmulas são o “vocabulário” que usaremos; agora aplicamos ao caso \vec{w}=f\vec{u}.

Passo 3

Escreve as componentes de \vec{u} e de f\vec{u}. Seja
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3), \qquad f\vec{u}=(f u_1,\; f u_2,\; f u_3),
onde cada u_i=u_i(x,y,z) e f=f(x,y,z). Aplicando a definição do rotacional a \vec{w}=f\vec{u} obtemos as componentes:
\nabla\times(f\vec{u})=\Big( \frac{\partial (f u_3)}{\partial y}-\frac{\partial (f u_2)}{\partial z},\; \frac{\partial (f u_1)}{\partial z}-\frac{\partial (f u_3)}{\partial x},\; \frac{\partial (f u_2)}{\partial x}-\frac{\partial (f u_1)}{\partial y} \Big).

Passo 4

Aplicamos a regra do produto para derivadas parciais em cada termo. A regra do produto diz que
\frac{\partial}{\partial x}(f\,u_i)=\frac{\partial f}{\partial x}\,u_i+f\,\frac{\partial u_i}{\partial x},
e análogas para derivadas em y e z. Usando isso nas componentes do rotacional temos, para a primeira componente:
\frac{\partial (f u_3)}{\partial y}-\frac{\partial (f u_2)}{\partial z} =\Big(\frac{\partial f}{\partial y}u_3+f\frac{\partial u_3}{\partial y}\Big) -\Big(\frac{\partial f}{\partial z}u_2+f\frac{\partial u_2}{\partial z}\Big).
Agrupando os termos com f e os termos com derivadas de f,
=\underbrace{f\Big(\frac{\partial u_3}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial z}\Big)}_{\text{parte }f(\nabla\times\vec{u})_1} \;+\;\underbrace{\Big(\frac{\partial f}{\partial y}u_3-\frac{\partial f}{\partial z}u_2\Big)}_{\text{parte }((\nabla f)\times\vec{u})_1}.

Passo 5

Fazemos o mesmo para as outras duas componentes. Para a segunda componente:
\frac{\partial (f u_1)}{\partial z}-\frac{\partial (f u_3)}{\partial x} =f\Big(\frac{\partial u_1}{\partial z}-\frac{\partial u_3}{\partial x}\Big) +\Big(\frac{\partial f}{\partial z}u_1-\frac{\partial f}{\partial x}u_3\Big).
Para a terceira componente:
\frac{\partial (f u_2)}{\partial x}-\frac{\partial (f u_1)}{\partial y} =f\Big(\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}\Big) +\Big(\frac{\partial f}{\partial x}u_2-\frac{\partial f}{\partial y}u_1\Big).

Passo 6

Agora vemos a separação completa: juntar as três componentes mostra
\nabla\times(f\vec{u}) =f\underbrace{\Big(\frac{\partial u_3}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial z},\; \frac{\partial u_1}{\partial z}-\frac{\partial u_3}{\partial x},\; \frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}\Big)}_{=\nabla\times\vec{u}} \;+\;\underbrace{\Big(\frac{\partial f}{\partial y}u_3-\frac{\partial f}{\partial z}u_2,\; \frac{\partial f}{\partial z}u_1-\frac{\partial f}{\partial x}u_3,\; \frac{\partial f}{\partial x}u_2-\frac{\partial f}{\partial y}u_1\Big)}_{=(\nabla f)\times\vec{u}}.
Observe que a segunda parcela é exatamente a fórmula do produto vetorial (\nabla f)\times\vec{u} usando \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z).

Passo 7

Portanto, compactando a expressão vetorial chegamos à identidade desejada:
\nabla\times(f\vec{u})=f\,\nabla\times\vec{u}+(\nabla f)\times\vec{u}.
Intuitivamente isto é um análogo vetorial da regra do produto: o rotacional de um produto escalar vezes um vetor se divide numa parte onde o escalar “sai” multiplicando o rotacional do vetor e numa parte nova devido à variação espacial do escalar, dada por (\nabla f)\times\vec{u}.

Resposta

\nabla\times(f\vec{u})=f\,\nabla\times\vec{u}+(\nabla f)\times\vec{u}

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