Mostre que \nabla \cdot(\vec{u} \times \vec{v})=\overrightarrow{0} se \vec{u} e \vec{v} forem ambos campos vetoriais irrotacionais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \nabla\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=\overrightarrow{0} quando \vec{u} e \vec{v} são ambos campos vetoriais irrotacionais.
Informações dadas (essas são as hipóteses que vamos usar):
  • \vec{u}=\vec{u}(x,y,z) e \vec{v}=\vec{v}(x,y,z) são campos vetoriais suficientemente suaves (deriváveis quantas vezes precisarmos).
  • “Irrotacionais” significa que suas rotações (curls) são nulas: \nabla\times\vec{u}=\vec{0} e \nabla\times\vec{v}=\vec{0}.
    O que se pede:
  • Mostrar que o divergente do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é nulo (vou comentar, abaixo, sobre a natureza escalar desse resultado).

Passo 2

Relembrando definições e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • O divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é a função escalar
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Aqui \partial/\partial x denota a derivada parcial em relação a x, etc.
  • O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} tem componentes (em coordenadas cartesianas):
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\big),
se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3).
  • A rotação (curl) de \vec{u} tem componentes
\nabla\times\vec{u}=\Big(\frac{\partial u_3}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial z},\; \frac{\partial u_1}{\partial z}-\frac{\partial u_3}{\partial x},\; \frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}\Big).
Obs.: o divergente é um escalar — portanto o resultado correto a ser nulo é o escalar 0. O enunciado usou \overrightarrow{0} mas o divergente não é vetor; vou mostrar que \nabla\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0 (escalares).

Passo 3

Vamos calcular \nabla\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) componente a componente. Primeiro escrevo as componentes de \vec{u}\times\vec{v}:
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = u_2v_3-u_3v_2,
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = u_3v_1-u_1v_3,
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = u_1v_2-u_2v_1.

Passo 4

Agora aplico a definição do divergente:
\nabla\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) = \frac{\partial}{\partial x}(u_2v_3-u_3v_2) + \frac{\partial}{\partial y}(u_3v_1-u_1v_3) + \frac{\partial}{\partial z}(u_1v_2-u_2v_1).
Vou expandir cada derivada usando a regra do produto (derivada de um produto f g é f_x g + f g_x, aqui com parciais). Expansão completa:
\begin{aligned} \nabla\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) &= \left(\frac{\partial u_2}{\partial x}v_3 + u_2\frac{\partial v_3}{\partial x} - \frac{\partial u_3}{\partial x}v_2 - u_3\frac{\partial v_2}{\partial x}\right)\\\ &\quad + \left(\frac{\partial u_3}{\partial y}v_1 + u_3\frac{\partial v_1}{\partial y} - \frac{\partial u_1}{\partial y}v_3 - u_1\frac{\partial v_3}{\partial y}\right)\\\ &\quad + \left(\frac{\partial u_1}{\partial z}v_2 + u_1\frac{\partial v_2}{\partial z} - \frac{\partial u_2}{\partial z}v_1 - u_2\frac{\partial v_1}{\partial z}\right). \end{aligned}

Passo 5

Agrupo os termos de forma a reconhecer expressões do tipo v\cdot(\nabla\times u) e -u\cdot(\nabla\times v). Primeiro agrupo os termos que têm derivadas de componentes de \vec{u} (com fatores v_i):
\begin{aligned} &\left(\frac{\partial u_2}{\partial x}v_3 - \frac{\partial u_3}{\partial x}v_2\right) + \left(\frac{\partial u_3}{\partial y}v_1 - \frac{\partial u_1}{\partial y}v_3\right) + \left(\frac{\partial u_1}{\partial z}v_2 - \frac{\partial u_2}{\partial z}v_1\right) \\\ &\quad= v_1\Big(\frac{\partial u_3}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial z}\Big) + v_2\Big(\frac{\partial u_1}{\partial z}-\frac{\partial u_3}{\partial x}\Big) + v_3\Big(\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}\Big) \\\ &\quad= \vec{v}\cdot(\nabla\times\vec{u}). \end{aligned}
Agora agrupo os termos que têm derivadas de componentes de \vec{v} (com fatores u_i) — note o sinal negativo em alguns termos:
\begin{aligned} &\left(u_2\frac{\partial v_3}{\partial x} - u_3\frac{\partial v_2}{\partial x}\right) + \left(u_3\frac{\partial v_1}{\partial y} - u_1\frac{\partial v_3}{\partial y}\right) + \left(u_1\frac{\partial v_2}{\partial z} - u_2\frac{\partial v_1}{\partial z}\right) \\\ &\quad= u_1\Big(\frac{\partial v_2}{\partial z}-\frac{\partial v_3}{\partial y}\Big) + u_2\Big(\frac{\partial v_3}{\partial x}-\frac{\partial v_1}{\partial z}\Big) + u_3\Big(\frac{\partial v_1}{\partial y}-\frac{\partial v_2}{\partial x}\Big) \\\ &\quad= -\vec{u}\cdot(\nabla\times\vec{v}). \end{aligned}
Juntando as duas partes obtemos a identidade clássica (mostrada passo a passo):
\nabla\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{v}\cdot(\nabla\times\vec{u})-\vec{u}\cdot(\nabla\times\vec{v}).

Passo 6

Agora uso a hipótese de irrotacionalidade: \nabla\times\vec{u}=\vec{0} e \nabla\times\vec{v}=\vec{0}. Substituindo na identidade do passo anterior:
\nabla\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{v}\cdot\vec{0}-\vec{u}\cdot\vec{0}=0-0=0.
Portanto o divergente é nulo em todo ponto onde as hipóteses valem. Reafirmando: o resultado é o escalar 0.

Passo 7

Comentário prático e incentivo: a chave foi usar a identidade
\nabla\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{v}\cdot(\nabla\times\vec{u})-\vec{u}\cdot(\nabla\times\vec{v}),
que pode ser derivada diretamente pelo cálculo componente a componente (como fizemos) ou usando a notação de Levi-Civita para quem já conhece. Quando ambos os curls são zero, o lado direito some. Tá feito — você conseguiu! Dá pra levar essa ideia para outros exercícios envolvendo produtos vetoriais e operadores diferenciais: sempre que ver divergente de cruzamento, pense nessa identidade.

Resposta

0

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