Mostre que
se
e
forem ambos campos vetoriais irrotacionais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
quando
e
são ambos campos vetoriais irrotacionais.
Informações dadas (essas são as hipóteses que vamos usar):
Informações dadas (essas são as hipóteses que vamos usar):
-
e são campos vetoriais suficientemente suaves (deriváveis quantas vezes precisarmos). - “Irrotacionais” significa que suas rotações (curls) são nulas:
e .
O que se pede: - Mostrar que o divergente do produto vetorial
é nulo (vou comentar, abaixo, sobre a natureza escalar desse resultado).
Passo 2
Relembrando definições e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
- O divergente de um campo vetorial
é a função escalar
Aqui
denota a derivada parcial em relação a
, etc.
- O produto vetorial
tem componentes (em coordenadas cartesianas):
se
e
.
- A rotação (curl) de
tem componentes
Obs.: o divergente é um escalar — portanto o resultado correto a ser nulo é o escalar
. O enunciado usou
mas o divergente não é vetor; vou mostrar que
(escalares).
Passo 3
Vamos calcular
componente a componente. Primeiro escrevo as componentes de
:
Passo 4
Agora aplico a definição do divergente:
Vou expandir cada derivada usando a regra do produto (derivada de um produto
é
, aqui com parciais). Expansão completa:
Passo 5
Agrupo os termos de forma a reconhecer expressões do tipo
e
. Primeiro agrupo os termos que têm derivadas de componentes de
(com fatores
):
Agora agrupo os termos que têm derivadas de componentes de
(com fatores
) — note o sinal negativo em alguns termos:
Juntando as duas partes obtemos a identidade clássica (mostrada passo a passo):
Passo 6
Agora uso a hipótese de irrotacionalidade:
e
. Substituindo na identidade do passo anterior:
Portanto o divergente é nulo em todo ponto onde as hipóteses valem. Reafirmando: o resultado é o escalar
.
Passo 7
Comentário prático e incentivo: a chave foi usar a identidade
que pode ser derivada diretamente pelo cálculo componente a componente (como fizemos) ou usando a notação de Levi-Civita para quem já conhece. Quando ambos os curls são zero, o lado direito some. Tá feito — você conseguiu! Dá pra levar essa ideia para outros exercícios envolvendo produtos vetoriais e operadores diferenciais: sempre que ver divergente de cruzamento, pense nessa identidade.