Seja f(x y)=x^2 y-x y^3 Calcule o gradiente f no ponto (2,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função f(x, y) = x^2 y - x y^3 no ponto (2,1). Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre gradientes. Para isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y , e depois calcular esses valores no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de f em relação a x . Isso significa que tratamos y como uma constante e derivamos com respeito a x .
A função é f(x, y) = x^2 y - x y^3 .
  • A derivada de x^2 y em relação a x é 2x y (já que y é constante).
  • A derivada de -x y^3 em relação a x é -y^3 .
Então, a derivada parcial de f em relação a x fica:
partial fpartial x = 2x y - y^3

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y . Desta vez, tratamos x como uma constante e derivamos com respeito a y .
  • A derivada de x^2 y em relação a y é x^2 (já que x^2 é constante).
  • A derivada de -x y^3 em relação a y é -3x y^2 .
Portanto, a derivada parcial de f em relação a y é:
partial fpartial y = x^2 - 3x y^2

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, vamos calcular os valores delas no ponto (2,1).
Para partial fpartial x :
partial fpartial x g|(2,1) = 2 times 2 times 1 - 1^3 = 4 - 1 = 3
Para partial fpartial y :
partial fpartial y g|(2,1) = 2^2 - 3 times 2 times 1^2 = 4 - 6 = -2

Resposta

O gradiente de f no ponto (2,1) é:
nabla f(2,1) = (3, -2)

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