$
\cos (x+y)+\sin (x+y)=\frac{1}{3}
$

Passo 1

O enunciado nos dá a equação cos(x+y)+sin(x+y)=tfrac13. O conteúdo é resolução de equações trigonométricas, e vamos usar a identidade que transforma soma de seno e cosseno numa única função trigonométrica.

Passo 2

Definimos theta = x+y. Usamos a identidade
sintheta + costheta = raiz2,sin!l(theta+tfracpi4r),
de modo que a equação vira
raiz2,sin!l(theta+tfracpi4r)=tfrac13

Passo 3

Isolamos o seno:
sin!l(theta+tfracpi4r)=13raiz2

Passo 4

As soluções gerais de sin u = k são
u = arcsin(k) + 2pi n ou u = pi - arcsin(k) + 2pi n, ninZ
Aqui u = theta+tfracpi4 e k=tfrac13raiz2. Logo
theta + tfracpi4 = arcsin!l(tfrac13raiz2r) + 2pi n ou theta + tfracpi4 = pi - arcsin!l(tfrac13raiz2r) + 2pi n

Passo 5

Voltando para theta = x+y e subtraindo tfracpi4, chegamos a
x+y = -tfracpi4 + arcsin!l(tfrac13raiz2r) + 2pi n ou x+y = tfrac3pi4 - arcsin!l(tfrac13raiz2r) + 2pi n, ninZ

Resposta

x+y = -pi4 + arcsinl(tfrac13raiz2r) + 2pi k ou x+y = 3pi4 - arcsinl(tfrac13raiz2r) + 2pi k, kinZ

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