Considere a função f: R^2 R, definida por f(x, y)=clx^2-y^2x-y & , se x neq y x-y & , se x=y
f é diferenciável em (0,0) ? Justifique!

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^2-y^2x-y,&se xneq y,[6pt] x-y,&se x=y,
e pede para investigar se f é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos usar os conceitos de continuação, derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade em R^2.]

Passo 2

Note que, para xneq y,
x^2-y^2x-y =(x-y)(x+y)x-y =x+y
Logo podemos reescrever
f(x,y)= x+y,&xneq y, 0,&x=y

Passo 3

Verificamos continuidade em (0,0). Se (x,y)to(0,0) e xneq y, então f(x,y)=x+yto0. Se x=y, f(x,x)=0. Em ambos casos f(x,y)to0=f(0,0), logo f é contínua em (0,0).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais em (0,0):
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h+0-0h=1,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00+k-0k=1
O candidato a diferencial linear é
L(h,k)=1cdot h+1cdot k = h+k

Passo 5

Para testar diferenciabilidade, consideramos o quociente
f(h,k)-l[f(0,0)+L(h,k)r]raizh^2+k^2 =f(h,k)-(h+k)raizh^2+k^2
Se f fosse diferenciável, esse quociente teria de tender a zero quando (h,k)to(0,0).

Passo 6

Escolhemos a reta . Então (pois cai na segunda definição) e . Assim
então
que não tende a zero quando .

Resposta

f não é diferenciável em (0,0).

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