Considere a função , definida por
f é diferenciável em ? Justifique!
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para investigar se f é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos usar os conceitos de continuação, derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade em R^2.]
Passo 2
Note que, para xneq y,
x^2-y^2x-y =(x-y)(x+y)x-y =x+y
Logo podemos reescrever
f(x,y)= x+y,&xneq y, 0,&x=y
Passo 3
Verificamos continuidade em (0,0). Se (x,y)to(0,0) e xneq y, então f(x,y)=x+yto0. Se x=y, f(x,x)=0. Em ambos casos f(x,y)to0=f(0,0), logo f é contínua em (0,0).
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais em (0,0):
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h+0-0h=1,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00+k-0k=1
O candidato a diferencial linear é
L(h,k)=1cdot h+1cdot k = h+k
Passo 5
Para testar diferenciabilidade, consideramos o quociente