Considere a função f: R^2 R, definida por f(x, y)=clx^2-y^2x-y & , se x neq y x-y & , se x=y
Calcule, caso existam, partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de uma função f(x, y) em um ponto específico, que é (0,0) . A matéria aqui é cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função [f(x, y)) está definida. Ela é dada por:
Quando (x \neq y], a expressão parece complicada, mas vamos simplificar isso primeiro.

Passo 3

Observando a expressão x^2 - y^2x - y , percebemos que o numerador é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
Então, a expressão fica:
(x - y)(x + y)x - y = x + y (para x neq y)
Portanto, a função simplifica para:
f(x, y) = x + y & se x neq y x - y & se x = y

Passo 4

Agora que simplificamos a função, vamos verificar se ela é contínua em (0,0) . Para que as derivadas parciais existam, a função precisa ser contínua nesse ponto. Calculando f(0,0) :
f(0, 0) = 0 - 0 = 0
E se aproximarmos (0,0) de diferentes direções, obtemos:
x + y 0 + 0 = 0
Portanto, f(x, y) é contínua em (0,0) .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a x no ponto (0,0) . A derivada parcial de f em relação a x é:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(0 + h, 0) - f(0,0)h
Vamos calcular f(h, 0) . Como h neq 0 , usamos f(x, y) = x + y :
f(h, 0) = h + 0 = h
Então, substituindo na expressão da derivada:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h - 0h = limh to 0 1 = 1

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0) . A derivada parcial de f em relação a y é:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, 0 + k) - f(0,0)k
Vamos calcular f(0, k) . Como 0 neq k (a menos que k = 0 , mas estamos considerando k to 0 ):
f(0, k) = 0 + k = k
Então, substituindo na expressão da derivada:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 k - 0k = limk to 0 1 = 1

Resposta

As derivadas parciais no ponto (0,0) são:
partial fpartial x(0,0) = 1 e partial fpartial y(0,0) = 1

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