Considere a função
, definida por
Calcule, caso existam,
e
.
Calcule, caso existam,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de uma função
em um ponto específico, que é
. A matéria aqui é cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e lidar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função [f(x, y)) está definida. Ela é dada por:
Quando (x \neq y], a expressão parece complicada, mas vamos simplificar isso primeiro.
Passo 3
Observando a expressão
, percebemos que o numerador é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar:
Então, a expressão fica:
Portanto, a função simplifica para:
Passo 4
Agora que simplificamos a função, vamos verificar se ela é contínua em
. Para que as derivadas parciais existam, a função precisa ser contínua nesse ponto. Calculando
:
E se aproximarmos
de diferentes direções, obtemos:
Portanto,
é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
. A derivada parcial de
em relação a
é:
Vamos calcular
. Como
, usamos
:
Então, substituindo na expressão da derivada:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
. A derivada parcial de
em relação a
é:
Vamos calcular
. Como
(a menos que
, mas estamos considerando
):
Então, substituindo na expressão da derivada:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são: