$
\frac{x{2}-y{2}}{x{2}+y{2}}=\frac{1}{2}
$

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2-y^2x^2+y^2=12
e pede o conjunto de pontos (x,y) que a satisfaz. O conteúdo é álgebra elementar e identificação de locus em geometria analítica. Vamos manipular algebricamente e ver que curva aparece.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (x^2+y^2), lembrando que (x,y)neq(0,0) para não termos divisão por zero:
x^2-y^2 ;=;12,(x^2+y^2)

Passo 3

Colocamos tudo num lado e simplificamos:
2(x^2-y^2) = x^2+y^2 Longrightarrow 2x^2-2y^2-x^2-y^2=0 Longrightarrow x^2-3y^2=0

Passo 4

Escrevendo x^2-3y^2=0 como
x^2=3y^2 Longrightarrow y^2=x^23,
vemos que
y=pmxraiz3

Passo 5

Portanto, o locus são duas retas que passam pela origem, mas excluem (0,0) (já que o denominador original não pode ser zero).

Resposta

O conjunto solução é dado pelas retas
y=xraiz3 e y=-xraiz3,
com (x,y)neq(0,0).

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