Calcule o gradiente da função f(x, y)=pi^x+e^y+ln x^2

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y)=pi^x+e^y+ln(x^2). O gradiente é o vetor das derivadas parciais de f em relação a x e a y:
nabla f(x,y)= partial fpartial x[6pt] partial fpartial y
Vamos usar as regras de derivada:
  • ddxa^x=a^xln(a).
  • ddye^y=e^y.
  • ddxln(x^2)=2x.]

Passo 2

Calculamos partial fpartial x. Como
f(x,y)=pi^x+e^y+ln(x^2),
temos
partialpartial xl(pi^xr)=pi^xln(pi), partialpartial xl(e^yr)=0, partialpartial xl(ln(x^2)r)=2x
Portanto,
partial fpartial x =pi^xln(pi)+2x

Passo 3

Calculamos partial fpartial y. Como
f(x,y)=pi^x+e^y+ln(x^2),
temos
partialpartial yl(pi^xr)=0, partialpartial yl(e^yr)=e^y, partialpartial yl(ln(x^2)r)=0
Logo,
partial fpartial y=e^y

Resposta

nabla f(x,y) = pi^xln(pi)+dfrac2x[8pt] e^y ]

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