Determine as trajetórias ortogonais às famílias de curvas dadas. Faça esboço dos gráficos.
Passo 1
O enunciado dá a família de círculos
onde é o parâmetro e é raio fixo. Queremos achar as trajetórias ortogonais, isto é, as curvas que cruzam esses círculos em ângulo reto. Para isso vamos:
Derivar a equação para obter em função de .
Trocar o declive por seu negativo recíproco para obter o declive ortogonal.
Eliminar usando a equação original.
Integrar para encontrar a família de soluções.
Passo 2
Derivando em relação a (tratando como constante) temos
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Passo 3
O declive da trajetória ortogonal é o negativo recíproco de . Assim
Passo 4
Para eliminar c note que da equação original
(y-c)^2=r^2-x^2
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y-c=pmraizr^2-x^2
Substituindo na inclinação ortogonal obtemos a EDO
dydx=pmraizr^2-x^2x
Passo 5
Separamos variáveis:
dy=pmraizr^2-x^2x,dx
Passo 6
Usamos a integral conhecida
integral raizr^2-x^2x,dx =-raizr^2-x^2 + rlnl|r+raizr^2-x^2xr| +,const
Portanto, após integrar com o sinal “pm” e reunir constantes, obtemos a família geral.
Passo 7
A equação implícita das trajetórias ortogonais fica então, absorvendo o “pm” na constante K:
-raizr^2-x^2 + rln!l|r+raizr^2-x^2xr| ;-;y =K
Passo 8
Esboço qualitativo:
A família original são círculos de raio r com centros em (0,c).
Cada trajetória ortogonal cruza todos esses círculos num ângulo de 90^circ.
No gráfico as ortogonais ligam pontos em x=pm r (onde raizr^2-x^2=0) e tendem a pminfty em xto0, formando curvas que “enrolam” à volta do eixo y.
Resposta
A família de trajetórias ortogonais está dada implicitamente por