Determine as trajetórias ortogonais às famílias de curvas dadas. Faça esboço dos gráficos.
x^2+(y-c)^2=r^2

Passo 1

O enunciado dá a família de círculos
x^2+(y-c)^2=r^2
onde c é o parâmetro e r é raio fixo. Queremos achar as trajetórias ortogonais, isto é, as curvas que cruzam esses círculos em ângulo reto. Para isso vamos:
  1. Derivar a equação para obter y' em função de c.
  2. Trocar o declive por seu negativo recíproco para obter o declive ortogonal.
  3. Eliminar c usando a equação original.
  4. Integrar para encontrar a família de soluções.

Passo 2

Derivando em relação a x (tratando c como constante) temos
2x + 2(y-c),dydx = 0
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dydx=-x,y-c,

Passo 3

O declive da trajetória ortogonal é o negativo recíproco de dydx. Assim
dydx|perp =+y-cx

Passo 4

Para eliminar c note que da equação original
(y-c)^2=r^2-x^2
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y-c=pmraizr^2-x^2
Substituindo na inclinação ortogonal obtemos a EDO
dydx=pmraizr^2-x^2x

Passo 5

Separamos variáveis:
dy=pmraizr^2-x^2x,dx

Passo 6

Usamos a integral conhecida
integral raizr^2-x^2x,dx =-raizr^2-x^2 + rlnl|r+raizr^2-x^2xr| +,const
Portanto, após integrar com o sinal “ pm” e reunir constantes, obtemos a família geral.

Passo 7

A equação implícita das trajetórias ortogonais fica então, absorvendo o “ pm” na constante K:
-raizr^2-x^2 + rln!l|r+raizr^2-x^2xr| ;-;y =K

Passo 8

Esboço qualitativo:
  • A família original são círculos de raio r com centros em (0,c).
  • Cada trajetória ortogonal cruza todos esses círculos num ângulo de 90^circ.
  • No gráfico as ortogonais ligam pontos em x=pm r (onde raizr^2-x^2=0) e tendem a pminfty em xto0, formando curvas que “enrolam” à volta do eixo y.

Resposta

A família de trajetórias ortogonais está dada implicitamente por
-raizr^2-x^2 + rln!l|r+raizr^2-x^2xr| -,y =K,
onde K é constante arbitrária.

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