Seja a curva gamma(t)=(cos t, t), calcule a derivada da função
f(x, y)=ln y cdot cos x

Passo 1

O enunciado fornece a curva gamma(t)=(cos t,,t) e a função de duas variáveis
f(x,y)=ln ycdotcos x
Queremos calcular
ddtl[f(gamma(t))r]
Para isso, vamos usar a regra da cadeia em várias variáveis, que envolve derivadas parciais de f e as derivadas de gamma(t).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y) =partialpartial xl(ln ycdotcos xr) =ln ycdot(-sin x) =-sin x,ln y,
fy(x,y) =partialpartial yl(ln ycdotcos xr) =1y,cos x

Passo 3

Pela regra da cadeia,
ddtfl(gamma(t)r) =fxl(gamma(t)r),x'(t) +fyl(gamma(t)r),y'(t)
Aqui x(t)=cos t e y(t)=t, logo
x'(t)=-sin t, y'(t)=1
Substituindo tudo,
ddtfl(gamma(t)r) =l[-sin(cos t),ln tr]cdot(-sin t) +1t,cos(cos t)

Passo 4

É só arrumar o sinal:
ddtfl(gamma(t)r) =sin(cos t),sin t,ln t +cos(cos t)t

Resposta

ddtfl(gamma(t)r) =sin(cos t),sin t,ln t +cos(cos t)t

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