Seja a curva gamma(t)=(t+1, t^2), calcule a derivada da função
g(x, y)=sen xy^2+3
ao longo de gamma.

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a t da composição g(gamma(t)), onde
gamma(t) = l(t+1,;t^2r)
e
g(x,y) = sen xy^2+3
O conteúdo necessário é a regra de cadeia para funções de várias variáveis, que diz
ddtg(gamma(t)) = partial gpartial xl(gamma(t)r),x'(t) + partial gpartial yl(gamma(t)r),y'(t)

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de g:
partial gpartial x(x,y) = cos xy^2+3, partial gpartial y(x,y) = -,2y,sen x(y^2+3)^2

Passo 3

Derivamos a curva gamma(t):
x(t)=t+1;Rightarrow;x'(t)=1, y(t)=t^2;Rightarrow;y'(t)=2t

Passo 4

Aplicando a regra de cadeia:
ddtgl(gamma(t)r) = cosl(x(t)r)l(y(t)^2+3r)cdot 1 ;+; l(-,2,y(t),senl(x(t)r)l(y(t)^2+3r)^2r)cdot (2t)
Substituindo x(t)=t+1 e y(t)^2+3=t^4+3, fica
ddtgl(gamma(t)r) = cos(t+1)t^4+3 - 4t^2,sen(t+1)(t^4+3)^2

Resposta

ddtgl(gamma(t)r) = cos(t+1)t^4+3 - 4t^2,sen(t+1)(t^4+3)^2

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