Calcule o gradiente da função:
z=e^2 x-3 y cos (2 x) cos (3 y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente da função z=e^2x-3ycos(2x)cos(3y). O conteúdo aqui envolve derivadas parciais, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Vamos calcular partial zpartial x. Primeiro, trate e^2x-3y e cos(2x)cos(3y) como fatores: aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos
partial zpartial x=partialpartial xl(e^2x-3yr)cdotcos(2x)cos(3y)+e^2x-3ycdotpartialpartial xl(cos(2x)cos(3y)r)
Derivando cada parte dá
partial zpartial x=2e^2x-3ycos(2x)cos(3y)-2e^2x-3ysin(2x)cos(3y)
e, fatorando,
partial zpartial x=2e^2x-3ycos(3y)l(cos(2x)-sin(2x)r) "

Passo 3

Agora calculamos partial zpartial y. De novo, usamos regra do produto e da cadeia:
partial zpartial y=partialpartial yl(e^2x-3yr)cdotcos(2x)cos(3y)+e^2x-3ycdotpartialpartial yl(cos(2x)cos(3y)r)
Fazendo as derivadas, obtemos
partial zpartial y=-3e^2x-3ycos(2x)cos(3y)-3e^2x-3ycos(2x)sin(3y)
e fatorando,
partial zpartial y=-3e^2x-3ycos(2x)l(cos(3y)+sin(3y)r) "

Passo 4

Por fim, juntamos as duas componentes para escrever o gradiente como um vetor.

Resposta

nabla z=(2e^2x-3ycos(3y)l(cos(2x)-sin(2x)r),,-3e^2x-3ycos(2x)l(cos(3y)+sin(3y)r))

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