Regra de L’Hospital: Suponha que as funções f e g são analíticas em z0, e que elas satisfazem lim z z0 f(z)g(z)=f^prime(z0)g^prime(z0) e lim z z0 z^3+(1+2 i) z^2+(-1+4 i) z-2z^3+i z^2 . Verifique que
Utilize essa resultado para calcular o seguinte limite

Passo 1

O enunciado geral nos diz que, se f e g são analíticas em um ponto z₀ com f(z₀)=g(z₀)=0 e g′(z₀)≠0, então limzto z₀f(z)/g(z)=f(z₀)/g(z₀). Agora querem usar esse resultado para calcular
limzto z₀z^3+(1+2i)z^2+(-1+4i)z-2z^3+iz^2

Passo 2

Definimos
f(z)=z^3+(1+2i)z^2+(-1+4i)z-2,
g(z)=z^3+iz^2=z^2(z+i)
Para aplicar L’Hospital precisamos de um z₀ tal que f(z₀)=0 e g(z₀)=0.

Passo 3

As raízes de g são z₀=0 (raiz de ordem 2) e z₀=-i. Calculando f(0)= -2≠0 e f(-i)=1≠0 vemos que não existe ponto onde f e g zerem simultaneamente. Portanto não se enquadra nas hipóteses da Regra de L’Hospital e o exercício, como está, é indeterminado/incompleto em relação ao z₀.

Passo 4

Como não há z₀ que satisfaça f(z₀)=g(z₀)=0 nem o enunciado especifica qual ponto tomar, não é possível calcular o limite usando a regra de L’Hospital.

Resposta

Não é possível aplicar a regra nem calcular o limite, pois não existe ponto z₀ onde f(z₀)=g(z₀)=0 e o enunciado não especifica tal ponto.

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