Regra de L’Hospital: Suponha que as funções
e
são analíticas em
, e que elas satisfazem
e
. Verifique que
Utilize essa resultado para calcular o seguinte limite
Passo 1
O enunciado geral nos diz que, se f e g são analíticas em um ponto z₀ com f(z₀)=g(z₀)=0 e g′(z₀)≠0, então
. Agora querem usar esse resultado para calcular
Passo 2
Definimos
Para aplicar L’Hospital precisamos de um z₀ tal que f(z₀)=0 e g(z₀)=0.
Passo 3
As raízes de g são z₀=0 (raiz de ordem 2) e z₀=-i. Calculando f(0)= -2≠0 e f(-i)=1≠0 vemos que não existe ponto onde f e g zerem simultaneamente. Portanto não se enquadra nas hipóteses da Regra de L’Hospital e o exercício, como está, é indeterminado/incompleto em relação ao z₀.
Passo 4
Como não há z₀ que satisfaça f(z₀)=g(z₀)=0 nem o enunciado especifica qual ponto tomar, não é possível calcular o limite usando a regra de L’Hospital.
Resposta
Não é possível aplicar a regra nem calcular o limite, pois não existe ponto z₀ onde f(z₀)=g(z₀)=0 e o enunciado não especifica tal ponto.