Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto
e .

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo Ox a região A = { (x,y)∈ℝ² : 0≤x≤2 e e{−x}≤y≤e{x} }. O conteúdo é cálculo de volume de sólidos de revolução e vamos usar o método dos anéis (washers).

Passo 2

Em um x fixo em [0,2], y varia de e^{−x} até e^{x}, ambas positivas. Ao rotacionar essa faixa em torno de Ox, obtemos um anel de raio externo R(x)=e^{x} e raio interno r(x)=e^{−x}.

Passo 3

A área da seção transversal em x é A(x)=π[R(x)²−r(x)²]=π(e{2x}−e{−2x}). Logo o volume é V=∫₀²A(x)dx=π∫₀²(e{2x}−e{−2x})dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
integral0^2e^2x,dx=12(e^4-1)
integral0^2e^-2x,dx=12(1-e^-4)
Portanto
integral0^2(e^2x-e^-2x)dx=tfrac12(e^4+e^-4-2)

Resposta

V=\frac{\pi}{2}\bigl(e{4}+e{-4}-2\bigr)

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