Calcule o gradiente das funções abaixo.
f(x, y)=x^{2} y+e^{x y};

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente da função
f(x,y)=x^{2}y+e^{xy}.
Informações dadas:
  • A função é definida em duas variáveis \,x e \,y.
  • Precisa-se do gradiente, ou seja, do vetor formado pelas derivadas parciais em relação a \,x e a \,y.

Passo 2

Definição e ideias úteis (a “aula rápida”):
  • O gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Derivada parcial em relação a \,x: derivar a função tratando \,y como constante.
  • Derivada parcial em relação a \,y: derivar a função tratando \,x como constante.
  • Regras que vamos usar:
    • Regra da soma: \dfrac{\partial}{\partial x}(g+h)=\dfrac{\partial g}{\partial x}+\dfrac{\partial h}{\partial x}.
    • Produto com constante: se y é tratado como constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=y\cdot\dfrac{d}{dx}(x^{2}).
    • Regra da cadeia para exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x). No caso de e^{xy}, ao derivar por \,x ou \,y aparece o fator da derivada de xy.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
  • Escrevo a função como soma de dois termos e derivo cada um:
f(x,y)=x^{2}y+e^{xy}.
  • Derivando o primeiro termo em relação a \,x: y é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr)=y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=y\cdot(2x)=2xy.
  • Derivando o segundo termo em relação a \,x: aplico regra da cadeia. Para u(x,y)=xy tem-se \dfrac{\partial u}{\partial x}=y. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\bigr)=e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=e^{xy}\cdot y=ye^{xy}.
  • Somando os dois resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+ye^{xy}.
  • Podemos fatorar y se quisermos:
\frac{\partial f}{\partial x}=y\bigl(2x+e^{xy}\bigr).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo.
  • Derivando o primeiro termo em relação a \,y: agora x é tratado como constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\bigr)=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y)=x^{2}.
  • Derivando o segundo termo em relação a \,y: uso regra da cadeia. Para u(x,y)=xy tem-se \dfrac{\partial u}{\partial y}=x. Logo
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\bigr)=e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=e^{xy}\cdot x=xe^{xy}.
  • Somando os dois resultados:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+xe^{xy}.
  • Podemos fatorar x se preferir:
\frac{\partial f}{\partial y}=x\bigl(x+e^{xy}\bigr).

Passo 5

Interpretação rápida e exemplo numérico (para ver que faz sentido):
  • O gradiente indica a direção de maior crescimento de f. Cada componente foi obtida tratando a outra variável como constante.
  • Exemplo: para (x,y)=(1,0) tem-se
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=2\cdot1\cdot0+0\cdot e^{0}=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=1^{2}+1\cdot e^{0}=1+1=2.
Ou seja, em (1,0) o vetor gradiente é (0,2).

Resposta

\nabla f(x,y)=\left(2xy+ye^{xy},\;x^{2}+xe^{xy}\right)

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