Calcule o gradiente das funções abaixo.
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente da função
Informações dadas:
- A função é definida em duas variáveis
e . - Precisa-se do gradiente, ou seja, do vetor formado pelas derivadas parciais em relação a
e a .
Passo 2
Definição e ideias úteis (a “aula rápida”):
- O gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
: derivar a função tratando como constante. - Derivada parcial em relação a
: derivar a função tratando como constante. - Regras que vamos usar:
- Regra da soma:
. - Produto com constante: se
é tratado como constante, . - Regra da cadeia para exponencial:
. No caso de , ao derivar por ou aparece o fator da derivada de .
- Regra da soma:
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Escrevo a função como soma de dois termos e derivo cada um:
- Derivando o primeiro termo em relação a
: é constante, então
- Derivando o segundo termo em relação a
: aplico regra da cadeia. Para tem-se . Logo
- Somando os dois resultados:
- Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Derivando o primeiro termo em relação a
: agora é tratado como constante, então
- Derivando o segundo termo em relação a
: uso regra da cadeia. Para tem-se . Logo
- Somando os dois resultados:
- Podemos fatorar
se preferir:
Passo 5
Interpretação rápida e exemplo numérico (para ver que faz sentido):
- O gradiente indica a direção de maior crescimento de
. Cada componente foi obtida tratando a outra variável como constante. - Exemplo: para
tem-se
Ou seja, em
o vetor gradiente é
.