Suponha que a função z=z(x, y) seja definida implicitamente pela equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=14 .
Admita que z seja diferenciável em relação a x e a y. Determine \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação que relaciona x, y e z:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=14.
Admite-se que z é uma função diferenciável de x e y, ou seja, z=z(x,y). O que o problema pede é:
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação é implícita: não foi dada a expressão z=\dots, apenas a equação acima.
  • Está garantido que z é diferenciável em relação a x e y (isso permite usar diferenciação implícita e a regra da cadeia).

Passo 2

O que significa \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}?
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando x varia e y é mantido fixo.
  • \dfrac{\partial z}{\partial y} é a taxa de variação de z quando y varia e x é mantido fixo.
Formalmente, se z=z(x,y) é diferenciável, então a regra da cadeia diz que, ao diferenciar uma composição envolvendo z, aparece o fator \dfrac{\partial z}{\partial x} ou \dfrac{\partial z}{\partial y} multiplicando a derivada da expressão interna.

Passo 3

Como a equação é implícita, vamos diferenciar ambos os lados de
x^{2}+y^{2}+z^{2}=14
em relação a x, tratando y como constante e lembrando que z depende de x (ou seja, z=z(x,y)). Aplicando derivada termo a termo:
  • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • Derivada de y^{2} em relação a x é 0, pois y é tratado como constante.
  • Derivada de z^{2} em relação a x: usar a regra da cadeia. Se z=z(x,y), então a derivada é 2z\cdot\dfrac{\partial z}{\partial x}.
Derivando ambos os lados obtemos:
2x + 0 + 2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} = 0,
pois a derivada de 14 é 0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação obtida para \dfrac{\partial z}{\partial x}. A equação é
2x + 2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} = 0.
Isolando \dfrac{\partial z}{\partial x}:
2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} = -2x
\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{-2x}{2z} = -\dfrac{x}{z}.
Observação importante sobre domínio: essa fórmula exige z\neq 0. Em pontos da esfera onde z=0 (ou seja, x^{2}+y^{2}=14), a expressão -x/z não está definida; nesses pontos a derivada parcial pode não existir ou é necessária análise mais cuidadosa (geometricamente são os pontos do “equador” da esfera onde a superfície tem tangente vertical na direção z).

Passo 5

Repetimos o procedimento para obter \dfrac{\partial z}{\partial y}. Diferenciando a mesma equação em relação a y, agora tratando x como constante:
  • Derivada de x^{2} em relação a y é 0.
  • Derivada de y^{2} em relação a y é 2y.
  • Derivada de z^{2} em relação a y é 2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} (regra da cadeia, pois z depende de y).
Dessa diferenciação obtemos:
0 + 2y + 2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0.

Passo 6

Isolando \dfrac{\partial z}{\partial y} na equação
2y + 2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0,
temos:
2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = -2y
\dfrac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{-2y}{2z} = -\dfrac{y}{z}.
A mesma observação de domínio vale: é necessário z\neq 0.

Passo 7

Para reforçar a intuição, pode-se verificar o resultado resolvendo explicitamente z em função de x e y:
z = \pm\sqrt{14 - x^{2} - y^{2}}.
Derivando explicitamente (por exemplo para o ramo positivo), usa-se \dfrac{d}{dx}\sqrt{u} = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} e obtém-se
\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{-x}{\sqrt{14 - x^{2} - y^{2}}} = -\dfrac{x}{z},
o que confirma a expressão encontrada por diferenciação implícita (e análogo para \partial z/\partial y).
Força aí — deu trabalho no começo, mas o truque é sempre aplicar a regra da cadeia lembrando que z depende das variáveis que você está diferenciando.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{x}{z}
\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{y}{z}

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