Suponha que a função
seja definida implicitamente pela equação
Admita que
seja diferenciável em relação a
e a
. Determine
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação que relaciona
,
e
:
Admite-se que
é uma função diferenciável de
e
, ou seja,
. O que o problema pede é:
- Determinar
. - Determinar
.
Informações relevantes fornecidas:
- A relação é implícita: não foi dada a expressão
, apenas a equação acima. - Está garantido que
é diferenciável em relação a e (isso permite usar diferenciação implícita e a regra da cadeia).
Passo 2
O que significa
e
?
-
é a taxa de variação de quando varia e é mantido fixo. -
é a taxa de variação de quando varia e é mantido fixo.
Formalmente, se
é diferenciável, então a regra da cadeia diz que, ao diferenciar uma composição envolvendo
, aparece o fator
ou
multiplicando a derivada da expressão interna.
Passo 3
Como a equação é implícita, vamos diferenciar ambos os lados de
em relação a
, tratando
como constante e lembrando que
depende de
(ou seja,
). Aplicando derivada termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é , pois é tratado como constante. - Derivada de
em relação a : usar a regra da cadeia. Se , então a derivada é .
Derivando ambos os lados obtemos:
pois a derivada de
é
.
Passo 4
Agora resolvemos a equação obtida para
. A equação é
Isolando
:
Observação importante sobre domínio: essa fórmula exige
. Em pontos da esfera onde
(ou seja,
), a expressão
não está definida; nesses pontos a derivada parcial pode não existir ou é necessária análise mais cuidadosa (geometricamente são os pontos do “equador” da esfera onde a superfície tem tangente vertical na direção
).
Passo 5
Repetimos o procedimento para obter
. Diferenciando a mesma equação em relação a
, agora tratando
como constante:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (regra da cadeia, pois depende de ).
Dessa diferenciação obtemos:
Passo 6
Isolando
na equação
temos:
A mesma observação de domínio vale: é necessário
.
Passo 7
Para reforçar a intuição, pode-se verificar o resultado resolvendo explicitamente
em função de
e
:
Derivando explicitamente (por exemplo para o ramo positivo), usa-se
e obtém-se
o que confirma a expressão encontrada por diferenciação implícita (e análogo para
).
Força aí — deu trabalho no começo, mas o truque é sempre aplicar a regra da cadeia lembrando que
depende das variáveis que você está diferenciando.