Calcule o gradiente
dos seguintes campos escalares:
(a)
,
(b)
,
(c)
,
(d) Calcule
para cada item acima.
(a)
(b)
(c)
(d) Calcule
Passo 1
A questão pede para calcular o gradiente ∇f de três campos escalares — (a) f(x,y)=x²+y cos(xy), (b) f(x,y)=e^{x²} sin y e (c) f(x,y,z)=ln(x²+2y³–z⁴) — e, em seguida, achar a norma ∥∇f∥ de cada um. Vamos usar derivadas parciais para formar o vetor gradiente e depois aplicar a fórmula da norma Euclidiana.
Passo 2
Lembrando as definições principais:
O gradiente de uma função f de até 3 variáveis é
O gradiente de uma função f de até 3 variáveis é
e a norma Euclidiana desse vetor é
Passo 3
Para (a), f(x,y)=x²+y cos(xy) calculamos as parciais:
Passo 4
Para (b), f(x,y)=e^{x²}\sin y temos:
Passo 5
Para (c), f(x,y,z)=\ln(g) com g=x²+2y³–z⁴, usamos a regra da cadeia:
Passo 6
Agora a norma Euclidiana de cada gradiente:
Para (a):
Para (a):
Passo 7
Para (b):
Passo 8
Para (c):
onde g = x²+2y³–z⁴ > 0 por o domínio do ln.
Resposta
(a) ∇f=(2x−y² sin(xy), cos(xy)−xy sin(xy)), ∥∇f∥=√[(2x−y² sin(xy))²+(cos(xy)−xy sin(xy))²]
(b) ∇f=(2x e^{x²} sin y, e^{x²} cos y), ∥∇f∥=e^{x²}√(4x² sin²y+cos²y)
(c) ∇f=(2x/(x²+2y³−z⁴), 6y²/(x²+2y³−z⁴), −4z³/(x²+2y³−z⁴)), ∥∇f∥=√(4x²+36y⁴+16z⁶)/(x²+2y³−z⁴)
(b) ∇f=(2x e^{x²} sin y, e^{x²} cos y), ∥∇f∥=e^{x²}√(4x² sin²y+cos²y)
(c) ∇f=(2x/(x²+2y³−z⁴), 6y²/(x²+2y³−z⁴), −4z³/(x²+2y³−z⁴)), ∥∇f∥=√(4x²+36y⁴+16z⁶)/(x²+2y³−z⁴)