Calcule o gradiente nabla f dos seguintes campos escalares:
(a) f(x, y)=x^2+y cos (x y),
(b) f(x, y)=e^x^2 sin y,
(c) ln (x^2+2 y^3-z^4),
(d) Calcule |nabla f| para cada item acima.

Passo 1

A questão pede para calcular o gradiente ∇f de três campos escalares — (a) f(x,y)=x²+y cos(xy), (b) f(x,y)=e^{x²} sin y e (c) f(x,y,z)=ln(x²+2y³–z⁴) — e, em seguida, achar a norma ∥∇f∥ de cada um. Vamos usar derivadas parciais para formar o vetor gradiente e depois aplicar a fórmula da norma Euclidiana.

Passo 2

Lembrando as definições principais:
O gradiente de uma função f de até 3 variáveis é
nabla f = (partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial z)
e a norma Euclidiana desse vetor é
|nabla f| = raiz(partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 + (partial fpartial z)^2

Passo 3

Para (a), f(x,y)=x²+y cos(xy) calculamos as parciais:
partial fpartial x = 2x + y,ddxl(cos(xy)r) = 2x - y^2sin(xy),
partial fpartial y = ddyl(ycos(xy)r) = cos(xy) - x ysin(xy)

Passo 4

Para (b), f(x,y)=e^{x²}\sin y temos:
partial fpartial x = 2x,e^x²sin y, ²
partial fpartial y = e^x²cos y ²

Passo 5

Para (c), f(x,y,z)=\ln(g) com g=x²+2y³–z⁴, usamos a regra da cadeia:
partial fpartial x = 1gcdot 2x = 2xx²+2y³ - z⁴, ²³
partial fpartial y = 6y²x²+2y³ - z⁴, ²²³
partial fpartial z = -4z³x²+2y³ - z⁴ ³²³

Passo 6

Agora a norma Euclidiana de cada gradiente:
Para (a):
|nabla f| = raizl(2x - y^2sin(xy)r)^2 + l(cos(xy) - xysin(xy)r)^2

Passo 7

Para (b):
|nabla f| = raizl(2x e^x²sin yr)^2 + l(e^x²cos yr)^2 = e^x²raiz4x^2sin^2y + cos^2y ²²²

Passo 8

Para (c):
|nabla f| = raiz(2xg)^2 + (6y²g)^2 + (-4z³g)^2 = raiz4x^2 + 36y^4 + 16z^6x^2 + 2y^3 - z^4, ²³
onde g = x²+2y³–z⁴ > 0 por o domínio do ln.

Resposta

(a) ∇f=(2x−y² sin(xy), cos(xy)−xy sin(xy)), ∥∇f∥=√[(2x−y² sin(xy))²+(cos(xy)−xy sin(xy))²]
(b) ∇f=(2x e^{x²} sin y, e^{x²} cos y), ∥∇f∥=e^{x²}√(4x² sin²y+cos²y)
(c) ∇f=(2x/(x²+2y³−z⁴), 6y²/(x²+2y³−z⁴), −4z³/(x²+2y³−z⁴)), ∥∇f∥=√(4x²+36y⁴+16z⁶)/(x²+2y³−z⁴)

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