Determine d fd x(x)=f^prime(x), se:
f(x)=1+raizx1-raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=1+raizx1-raizx
Portanto vamos usar a regra do quociente para funções u(x) e v(x) e, dentro disso, a regra da cadeia para a derivada de raizx.

Passo 2

Definimos
u(x)=1+raizx=1+x^1/2, v(x)=1-raizx=1-x^1/2
Como tfracddxx^1/2=tfrac12raizx, temos
u'(x)=12raizx, v'(x)=-12raizx

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l[v(x)r]^2
Substituindo u,u',v,v':
f'(x) =12raizx,(1-raizx) -l(1+raizxr)l(-12raizxr) (1-raizx)^2

Passo 4

No numerador, fatoramos tfrac12raizx:
12raizxl(1-raizx+1+raizxr) =12raizxcdot2 =1raizx
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f'(x) =1/raizx(1-raizx)^2 =1raizx,(1-raizx)^2

Resposta

f'(x)=1raizx,(1-raizx)^2

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