Verifique se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. Ela é limitada? Converge?
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para verificar monotonicidade, se é limitada e se converge. Vamos usar a identidade trigonométrica
, além das definições de sequência crescente, decrescente, limitada e de convergência.
Passo 2
Da identidade trigonométrica temos
Logo
,
,
e assim sucessivamente.
Passo 3
Para ser crescente (não decrescente) deveríamos ter
para todo
, e para ser decrescente (não crescente) deveríamos ter
. Contudo, como
,
e
, vemos que
mas
. Portanto a sequência sobe e desce, logo não é monótona.
Passo 4
Como
só assume os valores
e
, temos sempre
Portanto a sequência é limitada.
Passo 5
Uma sequência converge se seus termos se aproximam de um único valor limite. Aqui
oscila indefinidamente entre
e
sem se fixar em nenhum ponto. Logo a sequência não converge.
Resposta
A sequência
é não monótona, limitada (por
e
) e não converge.