Verifique se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. Ela é limitada? Converge?
an=cos (n pi)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an = cos(npi) e pede para verificar monotonicidade, se é limitada e se converge. Vamos usar a identidade trigonométrica cos(npi)=(-1)^n, além das definições de sequência crescente, decrescente, limitada e de convergência.

Passo 2

Da identidade trigonométrica temos
an = cos(npi) = (-1)^n
Logo a1 = (-1)^1 = -1, a2 = (-1)^2 = 1, a3 = -1 e assim sucessivamente.

Passo 3

Para ser crescente (não decrescente) deveríamos ter an+1>= an para todo n, e para ser decrescente (não crescente) deveríamos ter an+1<= an. Contudo, como a1=-1, a2=1 e a3=-1, vemos que a2>a1 mas a3<a2. Portanto a sequência sobe e desce, logo não é monótona.

Passo 4

Como an só assume os valores -1 e 1, temos sempre
-1 <= an <= 1
Portanto a sequência é limitada.

Passo 5

Uma sequência converge se seus termos se aproximam de um único valor limite. Aqui an oscila indefinidamente entre -1 e 1 sem se fixar em nenhum ponto. Logo a sequência não converge.

Resposta

A sequência an=cos(npi) é não monótona, limitada (por -1 e 1) e não converge.

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