Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados
e constante
segue-se que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os operadores divergente e rotacional são lineares. Isso significa que, para campos vetoriais
e
em
e para qualquer constante
, valem
O conteúdo aqui é o uso da definição de divergente e de rotacional em componentes, aliado à linearidade da derivada parcial.
Passo 2
Definição de divergente: para
,
Aplicando a um campo
, temos
Pela linearidade das derivadas parciais:
Somando as três componentes sai
Passo 3
Definição de rotacional: para
,
Para
, cada componente é da forma
Agrupando:
Repetindo para as três componentes do rotacional, obtemos
Resposta
Mostramos que, usando a linearidade da derivada parcial, tanto
quanto
valem. Portanto, divergente e rotacional são operadores lineares.