Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados mathbfu, v in R^3 e constante a in R segue-se que:
nabla cdot(a u+v)=a nabla cdot u+nabla cdot v

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os operadores divergente e rotacional são lineares. Isso significa que, para campos vetoriais u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3) em R^3 e para qualquer constante ainR, valem
nablacdotl(a,u+vr) =a,nablacdotu+nablacdotv,
nablatimesl(a,u+vr) =a,nablatimesu+nablatimesv
O conteúdo aqui é o uso da definição de divergente e de rotacional em componentes, aliado à linearidade da derivada parcial.

Passo 2

Definição de divergente: para w=(w1,w2,w3),
nablacdotw =partial w1partial x +partial w2partial y +partial w3partial z
Aplicando a um campo a,u+v=(a,u1+v1,;a,u2+v2,;a,u3+v3), temos
nablacdotl(a,u+vr) =partial (a,u1+v1)partial x +partial (a,u2+v2)partial y +partial (a,u3+v3)partial z
Pela linearidade das derivadas parciais:
partial (a,ui+vi)partial xi =a,partial uipartial xi +partial vipartial xi, i=1,2,3
Somando as três componentes sai
nablacdotl(a,u+vr) =a!!sumi=1^3partial uipartial xi +sumi=1^3partial vipartial xi =a,nablacdotu+nablacdotv

Passo 3

Definição de rotacional: para w=(w1,w2,w3),
nablatimesw =l(, partial w3partial y-partial w2partial z, ; partial w1partial z-partial w3partial x, ; partial w2partial x-partial w1partial y r)
Para w=a,u+v, cada componente é da forma
partial (a,uj+vj)partial xk -partial (a,uk+vk)partial xj =a,partial ujpartial xk +partial vjpartial xk -l(a,partial ukpartial xj+partial vkpartial xjr)
Agrupando:
= al(partial ujpartial xk-partial ukpartial xjr) +l(partial vjpartial xk-partial vkpartial xjr)
Repetindo para as três componentes do rotacional, obtemos
nablatimesl(a,u+vr) =a,nablatimesu+nablatimesv

Resposta

Mostramos que, usando a linearidade da derivada parcial, tanto
nablacdotl(a,u+vr) =a,nablacdotu+nablacdotv,
quanto
nablatimesl(a,u+vr) =a,nablatimesu+nablatimesv,
valem. Portanto, divergente e rotacional são operadores lineares.

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