Calcule o gradiente nabla f dos seguintes campos escalares:
f(x, y)=y^2+x cos (x^3 y),
Calcule também |nabla f| para cada item acima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente nabla f e a norma |nabla f| do campo escalar
f(x,y)=y^2+xcosl(x^3yr)
O conteúdo usado aqui é o de derivadas parciais e definição de gradiente e norma de vetor em R^2.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x. Como
f(x,y)=y^2+xcosl(x^3yr),
temos partialx(y^2)=0 e para xcos(x^3y) usamos a regra do produto e a cadeia:
partialpartial xl[xcos(x^3y)r] =cos(x^3y)+xl[-sin(x^3y)r]cdotpartialpartial x(x^3y)
Como partialx(x^3y)=3x^2y, obtemos
partial fpartial x =cos(x^3y)-3x^3y;sin(x^3y)

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a y. Novamente
partialy(y^2)=2y e, usando cadeia na outra parcela,
partialpartial yl[xcos(x^3y)r] =xl[-sin(x^3y)r]cdotpartialpartial y(x^3y)
Como partialy(x^3y)=x^3, resulta
partial fpartial y =2y - x^4;sin(x^3y)

Passo 4

O gradiente é o vetor cujas componentes são essas derivadas parciais. Logo,
nabla f(x,y) = partial fpartial x[6pt] partial fpartial y = cos(x^3y)-3x^3y,sin(x^3y)[4pt] 2y - x^4,sin(x^3y)
]

Passo 5

A norma do gradiente em R^2 é
|nabla f(x,y)| =raizl(cos(x^3y)-3x^3y,sin(x^3y)r)^2 +l(2y - x^4,sin(x^3y)r)^2

Resposta

nabla f(x,y)=l(cos(x^3y)-3x^3y,sin(x^3y),;2y - x^4,sin(x^3y)r) |nabla f(x,y)|=raizl(cos(x^3y)-3x^3y,sin(x^3y)r)^2+l(2y - x^4,sin(x^3y)r)^2

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