Dados vetores u, v, w, x in R^3, mostre que:
(u times v) cdot(w times x)=(u cdot w)(v cdot x)-(u cdot x)(v cdot w)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de produtos vetoriais e escalares em R^3:
(u times v) cdot (w times x) = (u cdot w)(v cdot x) - (u cdot x)(v cdot w)
O conteúdo é álgebra vetorial e vamos usar a notação de componentes com o símbolo de Levi-Civita epsilonijk e o delta de Kronecker de<aij.

Passo 2

Escrevemos em componentes a definição de produto vetorial e produto escalar:
(u times v)i = epsilonijk,uj,vk, (w times x)i = epsilonilm,wl,xm, acdotb = ai,bi

Passo 3

Então o produto escalar dos vetores cruzados fica
(u times v)cdot(w times x) = (u times v)i,(w times x)i = epsilonijk,uj,vk;epsilonilm,wl,xm

Passo 4

Usamos a identidade de contração de dois símbolos de Levi-Civita:
epsilonijk,epsilonilm = de<ajl,de<akm - de<ajm,de<akl
Substituindo,
epsilonijk,uj,vk;epsilonilm,wl,xm = l(de<ajl,de<akm-de<ajm,de<aklr) uj,vk,wl,xm

Passo 5

Desenvolvendo os dois termos:
de<ajl,de<akm,uj,vk,wl,xm = uj,wj ;vk,xk = (ucdotw)(vcdotx),
de<ajm,de<akl,uj,vk,wl,xm = uj,xj ;vk,wk = (ucdotx)(vcdotw)
Portanto
(u times v)cdot(w times x) = (ucdotw)(vcdotx) - (ucdotx)(vcdotw)

Resposta

(u times v) cdot(w times x) = (u cdot w)(v cdot x) - (u cdot x)(v cdot w)

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