Calcule o gradiente nabla f dos seguintes campos escalares:
ln (x y^2-y^3-3 x z^4)
Calcule também |nabla f| para cada item acima.

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=lnl(x,y^2-y^3-3,x,z^4r)
e também o seu comprimento |nabla f|. Para isso vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia:
nabla f=1g,nabla g com g=x,y^2-y^3-3,x,z^4.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de
g(x,y,z)=x,y^2-y^3-3,x,z^4,
Elas são
partial gpartial x=y^2-3,z^4, partial gpartial y=2,x,y-3,y^2, partial gpartial z=-12,x,z^3
Aplicando a regra da cadeia para f=ln g, obtemos
nabla f(x,y,z) =1x,y^2-y^3-3,x,z^4 y^2-3,z^4[6pt] 2,x,y-3,y^2[6pt] -12,x,z^3
]

Passo 3

O comprimento de nabla f é
|nabla f(x,y,z)| =raiz(y^2-3,z^4)^2+(2,x,y-3,y^2)^2+(-12,x,z^3)^2 l|x,y^2-y^3-3,x,z^4r|
Note que (-12,x,z^3)^2=144,x^2,z^6.

Resposta

nabla f(x,y,z) =1x,y^2-y^3-3,x,z^4 y^2-3,z^4 2,x,y-3,y^2 -12,x,z^3 ,
|nabla f(x,y,z)| =raiz(y^2-3,z^4)^2+(2,x,y-3,y^2)^2+144,x^2,z^6 l|x,y^2-y^3-3,x,z^4r|

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