Calcule o gradiente nabla f dos seguintes campos escalares:
f(x, y)=e^y^2 tan (x y),
Calcule também |nabla f| para cada item acima.

Passo 1

O enunciado pede o gradiente nabla f de
f(x,y)=e^y^2tan(xy)
e também a norma |nabla f|. Para isso vamos usar derivadas parciais, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia (pois tan e e^y^2 são compostas).

Passo 2

Para fx=partial fpartial x tratamos y como constante. Como e^y^2 não depende de x, ele fica como fator constante, e derivamos tan(xy) via regra da cadeia:
ddxtan(xy) =sec^2(xy),ddx(xy) =sec^2(xy),y
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fx =e^y^2cdotsec^2(xy),y =y,e^y^2sec^2(xy)

Passo 3

Para fy=partial fpartial y usamos a regra do produto entre e^y^2 e tan(xy). Primeiro derivada de e^y^2 é e^y^2cdot2y, vezes tan(xy); depois mais e^y^2 vezes a derivada de tan(xy), que pelo mesmo raciocínio acima dá sec^2(xy),x. Assim
fy =e^y^2l(2ytan(xy)r) +e^y^2l(sec^2(xy),xr) =e^y^2l(2ytan(xy)+xsec^2(xy)r)

Passo 4

Juntando, o gradiente é
nabla f(x,y) =l(fx,fyr) =l(y,e^y^2sec^2(xy),, e^y^2l(2ytan(xy)+xsec^2(xy)r)r)

Passo 5

A norma é
|nabla f(x,y)| =raiz(fx)^2+(fy)^2 =raize^2y^2l(y^2sec^4(xy) +l(2ytan(xy)+xsec^2(xy)r)^2r)
Fatorando e^y^2 em evidência:
|nabla f(x,y)| =e^y^2raiz,y^2sec^4(xy) +l(2ytan(xy)+xsec^2(xy)r)^2

Resposta

nabla f(x,y) =l(y,e^y^2sec^2(xy),, e^y^2l(2ytan(xy)+xsec^2(xy)r)r),
|nabla f(x,y)| =e^y^2raizy^2sec^4(xy) +l(2ytan(xy)+xsec^2(xy)r)^2

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