Nos problemas 4.23 a 4.45 , resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial.
4.44 y^prime=x^2 y-yy+1 ; y(3)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = x^2y - yy+1, y(3) = -1
O conteúdo envolvido é EDO de primeira ordem separável: a ideia é escrever todos os y de um lado e todos os x do outro, integrar e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Começamos fatorando o numerador:
x^2y - y = y,(x^2-1),
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dydx = y,(x^2-1)y+1 Longrightarrow y+1y,dy = (x^2-1),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y+1y,dy = integral (x^2-1),dx
No lado esquerdo:
y+1y = 1 + 1y Longrightarrow integrall(1 + tfrac1yr)dy = y + lnlvert yrvert
No direito:
integral (x^2-1),dx = x^33 - x + C
Então a solução geral implícita é
y + lnlvert yrvert = x^33 - x + C

Passo 4

Usamos a condição y(3)=-1. Substituindo x=3 e y=-1:
-1 + lnlvert -1rvert = 273 - 3 + C Longrightarrow -1 + 0 = 9 - 3 + C Longrightarrow -1 = 6 + C Longrightarrow C = -7

Passo 5

Substituindo C=-7 na solução implícita, obtemos
y + lnlvert yrvert = x^33 - x - 7
Essa é a forma final da solução que satisfaz y(3)=-1.

Resposta

y + lnlvert yrvert = x^33 - x - 7

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