Considere o problema de valor inicial
l y^prime prime-y^prime-2 y=0 y(0)=alpha e y^prime(0)=2
Determine a única solução para o problema em questão.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 2y = 0,
com condições iniciais y(0)=alpha e y'(0)=2. Vamos usar o método da equação característica para obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
r^2 - r - 2 = 0
Resolvendo-a, temos
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
isto é, r1 = 2 e r2 = -1. Logo, a solução geral é
y(x) = C e^2x + D e^-x,
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 3

Para aplicar as condições iniciais, calculamos y'(x):
y'(x) = 2C e^2x - D e^-x
Em x=0 isso dá
y(0) = C + D = alpha,
y'(0) = 2C - D = 2

Passo 4

Resolvendo o sistema
C + D = alpha, 2C - D = 2,
somamos as duas equações para eliminar D:
3C = alpha + 2 Longrightarrow C = alpha + 23
Em seguida,
D = alpha - C = alpha - alpha + 23 = 3alpha - (alpha + 2)3 = 2(alpha - 1)3

Passo 5

Substituímos C e D na solução geral para obter a única solução do problema de valor inicial:
y(x) = alpha + 23,e^2x + 2(alpha - 1)3,e^-x

Resposta

y(x) = alpha + 23,e^2x + 2(alpha - 1)3,e^-x

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