Calcule o gradiente das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função
. Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial Multivariable, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para encontrar o gradiente, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é dada por:
Ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes, já que elas não dependem de
.
A derivada de
em relação a
é:
Então, multiplicamos isso pela parte que está constante:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, a função
é:
Ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes.
A derivada de
em relação a
é:
Multiplicando pela parte constante:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é:
Ao derivar em relação a
, as partes
e
são tratadas como constantes.
A derivada de
em relação a
é:
Então, multiplicando pela parte constante:
Resposta
O gradiente da função
é dado por: