Calcule o gradiente das seguintes funções: w=e^z cos (2 x) cos (3 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função w = e^z cos (2 x) cos (3 y) . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial Multivariable, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para encontrar o gradiente, vamos precisar calcular as derivadas parciais de w em relação a cada uma das variáveis: x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de w em relação a x , ou seja, partial wpartial x .
A função w é dada por:
w = e^z cos (2 x) cos (3 y)
Ao derivar em relação a x , tratamos e^z e cos (3 y) como constantes, já que elas não dependem de x .
A derivada de cos (2x) em relação a x é:
ddx cos (2x) = -2 sin (2x)
Então, multiplicamos isso pela parte que está constante:
partial wpartial x = e^z times (-2 sin (2x)) times cos (3y)
partial wpartial x = -2 e^z sin (2x) cos (3y)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de w em relação a y , ou seja, partial wpartial y .
Novamente, a função w é:
w = e^z cos (2 x) cos (3 y)
Ao derivar em relação a y , tratamos e^z e cos (2x) como constantes.
A derivada de cos (3y) em relação a y é:
ddy cos (3y) = -3 sin (3y)
Multiplicando pela parte constante:
partial wpartial y = e^z cos (2x) times (-3 sin (3y))
partial wpartial y = -3 e^z cos (2x) sin (3y)

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de w em relação a z , ou seja, partial wpartial z .
A função w é:
w = e^z cos (2 x) cos (3 y)
Ao derivar em relação a z , as partes cos (2x) e cos (3y) são tratadas como constantes.
A derivada de e^z em relação a z é:
ddz e^z = e^z
Então, multiplicando pela parte constante:
partial wpartial z = e^z times cos (2x) cos (3y)
partial wpartial z = e^z cos (2x) cos (3y)

Resposta

O gradiente da função w = e^z cos (2 x) cos (3 y) é dado por:
nabla w = ( -2 e^z sin (2x) cos (3y), -3 e^z cos (2x) sin (3y), e^z cos (2x) cos (3y) )

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