Calcule a integral de linha: integralC y(x^2+y^2) d x-x(x^2+y^2) d y+x y d z, onde: C: x=cos (t), y=sen(t), z=t,-pi <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva no espaço. A integral que a gente vai resolver é:
integralC y(x^2+y^2) dx - x(x^2+y^2) dy +x y dz
A curva C está parametrizada por:
x = cos(t), y = sin(t), z = t, -pi <= t <= pi
Então, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha parametrizadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. Temos:
x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t)
z(t) = t
Agora, precisamos achar as derivadas dessas funções em relação a t para encontrar dx , dy e dz :
dxdt = -sin(t)
dydt = cos(t)
dzdt = 1
Então, podemos escrever:
dx = -sin(t) dt
dy = cos(t) dt
dz = dt

Passo 3

Agora, vamos substituir x , y , dx , dy e dz na integral original:
integralC y(x^2+y^2) dx - x(x^2+y^2) dy +x y dz
Substituindo:
integral-pi^pi sin(t)(cos^2(t)+sin^2(t)) (-sin(t)) dt - cos(t)(cos^2(t)+sin^2(t)) cos(t) dt + cos(t) sin(t) dt

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, sabemos que:
cos^2(t) + sin^2(t) = 1
Então, substituindo:
integral-pi^pi sin(t) cdot 1 cdot (-sin(t)) dt - cos(t) cdot 1 cdot cos(t) dt + cos(t) sin(t) dt
Simplificando mais:
integral-pi^pi -sin^2(t) dt - cos^2(t) dt + cos(t) sin(t) dt
Podemos combinar os termos:
integral-pi^pi ( -sin^2(t) - cos^2(t) + cos(t) sin(t) ) dt
Sabemos que sin^2(t) + cos^2(t) = 1 , então:
integral-pi^pi ( -1 + cos(t) sin(t) ) dt

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Primeiro:
integral-pi^pi -1 , dt = -t |-pi^pi = -pi - (-pi) = -2pi
Segundo:
integral-pi^pi cos(t) sin(t) , dt
Para integrar cos(t) sin(t) , podemos usar a substituição u = sin(t) , então du = cos(t) dt :
integral cos(t) sin(t) , dt = 12 sin^2(t) + C
Avaliado de -pi a pi :
12 sin^2(pi) - 12 sin^2(-pi) = 12 cdot 0 - 12 cdot 0 = 0
Então, o resultado total é:
-2pi + 0 = -2pi

Resposta

A integral de linha vale -2pi .

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