Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva no espaço. A integral que a gente vai resolver é:
A curva está parametrizada por:
Então, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha parametrizadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. Temos:
Agora, precisamos achar as derivadas dessas funções em relação a para encontrar , e :
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos substituir , , , e na integral original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, sabemos que:
Então, substituindo:
Simplificando mais:
Podemos combinar os termos:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Primeiro:
Segundo:
integral-pi^pi cos(t) sin(t) , dt
Para integrar cos(t) sin(t) , podemos usar a substituição u = sin(t) , então du = cos(t) dt :