Determine a derivada direcional da função dada na direção do vetor :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar a derivada direcional da função na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente de derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como usar o conceito de produto escalar para achar a derivada na direção desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função na direção de um vetor é dada pela fórmula:
Onde é o gradiente da função e é o vetor unitário na direção de .
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar o gradiente . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Similarmente, para e :
Então, o gradiente fica:
Passo 5
Agora, precisamos do vetor unitário na direção de . Como já está escalado por , vamos verificar se é unitário.
Calculando o módulo de :
Então, v já é um vetor unitário, ou seja, u = v .
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar nabla w cdot u :
Dv w = nabla w cdot u = 2xx^2 + y^2 + z^2 cdot raiz33 cdot 1 + 2yx^2 + y^2 + z^2 cdot raiz33 cdot (-1) + 2zx^2 + y^2 + z^2 cdot raiz33 cdot 1
Simplificando:
Dv w = 2raiz33(x^2 + y^2 + z^2) (x - y + z)
Resposta
A derivada direcional da função w = ln(x^2 + y^2 + z^2) na direção do vetor v = raiz33(1, -1, 1) é: