Determine a derivada direcional da função dada na direção do vetor v: w=ln (x^2+y^2+z^2), v=raiz33(1,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar a derivada direcional da função w = ln(x^2 + y^2 + z^2) na direção do vetor v = raiz33(1, -1, 1) . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente de derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como usar o conceito de produto escalar para achar a derivada na direção desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função w(x, y, z) na direção de um vetor v = (a, b, c) é dada pela fórmula:
Dv w = nabla w cdot u
Onde nabla w é o gradiente da função w e u é o vetor unitário na direção de v .

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar o gradiente nabla w . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de w em relação a cada variável:
nabla w = ( partial wpartial x, partial wpartial y, partial wpartial z )
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de w em relação a x :
partial wpartial x = 1x^2 + y^2 + z^2 cdot 2x = 2xx^2 + y^2 + z^2
Similarmente, para y e z :
partial wpartial y = 2yx^2 + y^2 + z^2
partial wpartial z = 2zx^2 + y^2 + z^2
Então, o gradiente fica:
nabla w = ( 2xx^2 + y^2 + z^2, 2yx^2 + y^2 + z^2, 2zx^2 + y^2 + z^2 )

Passo 5

Agora, precisamos do vetor unitário u na direção de v . Como v já está escalado por raiz33 , vamos verificar se é unitário.
Calculando o módulo de v :
|v| = raiz(raiz33)^2 + (-raiz33)^2 + (raiz33)^2 = raiz39 + 39 + 39 = raiz1 = 1
Então, v já é um vetor unitário, ou seja, u = v .

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar nabla w cdot u :
Dv w = nabla w cdot u = 2xx^2 + y^2 + z^2 cdot raiz33 cdot 1 + 2yx^2 + y^2 + z^2 cdot raiz33 cdot (-1) + 2zx^2 + y^2 + z^2 cdot raiz33 cdot 1
Simplificando:
Dv w = 2raiz33(x^2 + y^2 + z^2) (x - y + z)

Resposta

A derivada direcional da função w = ln(x^2 + y^2 + z^2) na direção do vetor v = raiz33(1, -1, 1) é:
Dv w = 2raiz3(x - y + z)3(x^2 + y^2 + z^2)

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