Verifique se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, calcule o potencial: F(x, y)=(3 x^2+2 y^2, 4 x y+6 y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x, y) = (3x^2 + 2y^2,, 4xy + 6y^2) é conservativo. Se for, precisamos encontrar o potencial desse campo. Isso está relacionado ao estudo de Campos Vetoriais Conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que torna um campo conservativo e como encontrar seu potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial F = (P, Q) em duas dimensões é conservativo se existir uma função escalar phi(x, y) tal que:
F = nabla phi = ( partial phipartial x,, partial phipartial y )
Ou seja, P = partial phipartial x e Q = partial phipartial y.

Passo 3

Uma condição necessária para que um campo vetorial seja conservativo é que suas derivadas parciais cruzadas sejam iguais. Em outras palavras:
partial Qpartial x = partial Ppartial y
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo F.

Passo 4

Calculando partial Qpartial x:
Q = 4xy + 6y^2 partial Qpartial x = 4y
Agora, calculando partial Ppartial y:
P = 3x^2 + 2y^2 partial Ppartial y = 4y

Passo 5

Como partial Qpartial x = partial Ppartial y = 4y, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto, F é um campo vetorial conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar o potencial phi(x, y). Sabemos que:
partial phipartial x = P = 3x^2 + 2y^2
Para encontrar phi, integramos P em relação a x:
phi(x, y) = integral (3x^2 + 2y^2) , dx = x^3 + 2y^2x + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y, já que a integração é em relação a x.

Passo 7

Agora, utilizamos a segunda condição Q = partial phipartial y para encontrar g(y):
partial phipartial y = 4xy + g'(y) = Q = 4xy + 6y^2
Comparando os termos, temos:
4xy + g'(y) = 4xy + 6y^2 g'(y) = 6y^2
Integrando g'(y) em relação a y:
g(y) = 2y^3 + C
Onde C é a constante de integração, que podemos ignorar no potencial.

Passo 8

Substituindo g(y) de volta na expressão de phi(x, y):
phi(x, y) = x^3 + 2y^2x + 2y^3 + C
Como a constante C não afeta o campo, podemos escrevê-la da seguinte forma:
phi(x, y) = x^3 + 2xy^2 + 2y^3

Resposta

O campo vetorial é conservativo e seu potencial é dado por:
phi(x, y) = x^3 + 2xy^2 + 2y^3

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