Verifique se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, calcule o potencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar o potencial desse campo. Isso está relacionado ao estudo de Campos Vetoriais Conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que torna um campo conservativo e como encontrar seu potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial
em duas dimensões é conservativo se existir uma função escalar
tal que:
Ou seja,
e
.
Passo 3
Uma condição necessária para que um campo vetorial seja conservativo é que suas derivadas parciais cruzadas sejam iguais. Em outras palavras:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo
.
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Como
, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto,
é um campo vetorial conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar o potencial
. Sabemos que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a integração é em relação a
.
Passo 7
Agora, utilizamos a segunda condição
para encontrar
:
Comparando os termos, temos:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar no potencial.
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão de
:
Como a constante
não afeta o campo, podemos escrevê-la da seguinte forma:
Resposta
O campo vetorial é conservativo e seu potencial é dado por: