Determine o valor máximo da derivada direcional da função f no ponto dado e a direção e o sentido em que ocorre: w=cos (y z)+sen(x y), P(-3,0,7)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um problema de derivada direcional. A gente tem a função w = cos(yz) + sin(xy) e queremos saber qual é o valor máximo da derivada direcional dessa função no ponto P(-3, 0, 7) , além de descobrir em que direção e sentido esse máximo ocorre. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e o vetor gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção onde a variação da função é maior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto, na direção de um vetor, é calculada através do produto escalar entre o vetor gradiente da função nesse ponto e o vetor unitário que representa a direção escolhida. O vetor gradiente aponta na direção de maior variação da função, e o valor máximo da derivada direcional é justamente o comprimento (magnitude) desse vetor gradiente.

Passo 3

Vamos calcular o vetor gradiente da função w = cos(yz) + sin(xy) . O vetor gradiente é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável:
nabla w = ( partial wpartial x, partial wpartial y, partial wpartial z )
Vamos calcular cada uma delas:
  1. Derivada parcial em relação a x :
partial wpartial x = partialpartial x ( cos(yz) + sin(xy) ) = 0 + y cos(xy) = y cos(xy)
  1. Derivada parcial em relação a y :
partial wpartial y = partialpartial y ( cos(yz) + sin(xy) ) = -z sin(yz) + x cos(xy)
  1. Derivada parcial em relação a z :
partial wpartial z = partialpartial z ( cos(yz) + sin(xy) ) = -y sin(yz) + 0 = -y sin(yz)
Então, o vetor gradiente é:
nabla w = ( y cos(xy), -z sin(yz) + x cos(xy), -y sin(yz) )

Passo 4

Agora, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto P(-3, 0, 7) . Substituindo x = -3 , y = 0 e z = 7 nas derivadas parciais:
  1. Para partial wpartial x :
y cos(xy) = 0 cdot cos(-3 cdot 0) = 0
  1. Para partial wpartial y :
-z sin(yz) + x cos(xy) = -7 cdot sin(0 cdot 7) + (-3) cdot cos(-3 cdot 0) = -7 cdot 0 + (-3) cdot 1 = -3
  1. Para partial wpartial z :
-y sin(yz) = -0 cdot sin(0 cdot 7) = 0
Então, o vetor gradiente no ponto P(-3, 0, 7) é:
nabla w(P) = (0, -3, 0)

Passo 5

O valor máximo da derivada direcional é o comprimento do vetor gradiente. Vamos calcular a magnitude do vetor nabla w(P) = (0, -3, 0) :
|nabla w(P)| = raiz0^2 + (-3)^2 + 0^2 = raiz9 = 3
A direção em que esse valor máximo ocorre é a direção do próprio vetor gradiente, ou seja, na direção do vetor (0, -3, 0) . Para simplificar, podemos usar o vetor unitário nessa direção, que é (0, -1, 0) . Isso significa que a direção é ao longo do eixo y , no sentido negativo.

Resposta

O valor máximo da derivada direcional é 3, ocorrendo na direção do vetor (0, –1, 0).

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