Determine o valor máximo da derivada direcional da função f no ponto dado e a direção e o sentido em que ocorre:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um problema de derivada direcional. A gente tem a função
e queremos saber qual é o valor máximo da derivada direcional dessa função no ponto
, além de descobrir em que direção e sentido esse máximo ocorre. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e o vetor gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção onde a variação da função é maior.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto, na direção de um vetor, é calculada através do produto escalar entre o vetor gradiente da função nesse ponto e o vetor unitário que representa a direção escolhida. O vetor gradiente aponta na direção de maior variação da função, e o valor máximo da derivada direcional é justamente o comprimento (magnitude) desse vetor gradiente.
Passo 3
Vamos calcular o vetor gradiente da função
. O vetor gradiente é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Vamos calcular cada uma delas:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o vetor gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
nas derivadas parciais:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, o vetor gradiente no ponto
é:
Passo 5
O valor máximo da derivada direcional é o comprimento do vetor gradiente. Vamos calcular a magnitude do vetor
:
A direção em que esse valor máximo ocorre é a direção do próprio vetor gradiente, ou seja, na direção do vetor
. Para simplificar, podemos usar o vetor unitário nessa direção, que é
. Isso significa que a direção é ao longo do eixo
, no sentido negativo.
Resposta
O valor máximo da derivada direcional é 3, ocorrendo na direção do vetor (0, –1, 0).