Calcule o gradiente das seguintes funções:
(i) f(x, y, z) = x * y + sen(e^z)

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular o gradiente da função . O gradiente é um conceito da matemática que usamos em cálculo multivariável, principalmente para identificar a direção de maior crescimento de uma função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis: , e .

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial em relação a significa que tratamos e como constantes e derivamos apenas em relação a .
A função é .
Derivando em relação a :
A segunda parte, , não depende de , então sua derivada em relação a é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos e como constantes.
Derivando em relação a :
Assim como antes, não depende de , então sua derivada em relação a é zero.

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Agora, e são constantes.
Derivando em relação a :
Aqui, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Portanto, a derivada é .

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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