Calcule o gradiente das seguintes funções:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular o gradiente da função
. O gradiente é um conceito da matemática que usamos em cálculo multivariável, principalmente para identificar a direção de maior crescimento de uma função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial em relação a
significa que tratamos
e
como constantes e derivamos apenas em relação a
.
A função é
.
Derivando em relação a
:
A segunda parte,
, não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
Derivando em relação a
:
Assim como antes,
não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero.
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Agora,
e
são constantes.
Derivando em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
. Portanto, a derivada é
.
Resposta
O gradiente da função é dado por: