Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o gradiente da função
no ponto
. A matéria envolvida aqui é o cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais e o gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Ele é representado por:
Isso significa que precisamos calcular a derivada de
em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, tratamos
e
como constantes, então a derivada de
em relação a
é 2, e as outras partes desaparecem.
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
De forma similar, tratamos
e
como constantes, então a derivada de
em relação a
é 3.
Passo 5
Por fim, a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
e
são constantes, e a derivada de
em relação a
é 4.
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o gradiente:
Resposta
O gradiente da função
no ponto
é: