Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(f) f(x, y, z) = 2x + 3y + 4z, (1, 1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o gradiente da função no ponto . A matéria envolvida aqui é o cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais e o gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Ele é representado por:
Isso significa que precisamos calcular a derivada de em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, tratamos e como constantes, então a derivada de em relação a é 2, e as outras partes desaparecem.

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :
De forma similar, tratamos e como constantes, então a derivada de em relação a é 3.

Passo 5

Por fim, a derivada parcial de em relação a :
Aqui, e são constantes, e a derivada de em relação a é 4.

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o gradiente:

Resposta

O gradiente da função no ponto é:

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