Determine a derivada direcional
da função
na direção
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional
da função
na direção do vetor
.
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produtos escalares. Primeiro, vamos descobrir as derivadas parciais da função
, depois verificar se o vetor
está normalizado (ou seja, tem comprimento 1), e por fim, aplicar a fórmula da derivada direcional usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se o vetor
está normalizado. Um vetor está normalizado se o seu comprimento (ou módulo) for 1.
Calculando o comprimento de
:
Então, o vetor
já está normalizado.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional:
Onde:
-
é a derivada parcial de em relação a no ponto , -
é a derivada parcial de em relação a no ponto , -
e são as componentes do vetor .
Substituindo os valores que já calculamos:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa expressão:
Resposta
A derivada direcional
é igual a -9,2.