Determine a derivada direcional D_v f(1,2) da função f na direção v = 3/5 i - 4/5 j.
(a) f(x, y) = x * y + y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função na direção do vetor .
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produtos escalares. Primeiro, vamos descobrir as derivadas parciais da função , depois verificar se o vetor está normalizado (ou seja, tem comprimento 1), e por fim, aplicar a fórmula da derivada direcional usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se o vetor está normalizado. Um vetor está normalizado se o seu comprimento (ou módulo) for 1.
Calculando o comprimento de :
Então, o vetor já está normalizado.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional:
Onde:
  • é a derivada parcial de em relação a no ponto ,
  • é a derivada parcial de em relação a no ponto ,
  • e são as componentes do vetor .
Substituindo os valores que já calculamos:

Passo 6

Agora, vamos calcular essa expressão:

Resposta

A derivada direcional é igual a -9,2.

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