Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(g) x^2 * y^2 + z - 40 = 0, (2, 3, 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o plano tangente à superfície definida por no ponto . Isso está no campo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais para encontrar o plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto , usamos a equação:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na equação do plano tangente:

Passo 6

Vamos expandir e simplificar essa equação:

Passo 7

Para deixar a equação mais simples, podemos fatorar se possível. Observando os coeficientes, não há um divisor comum além de 1, então a equação final do plano tangente é:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:

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