Verifique se as funções dadas satisfazem a equação de Laplace:
f(x, y, z)=x^2+e^y-z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função f(x, y, z) = x^2 + e^y - z satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece bastante em física e matemática, usada para descrever fenômenos como campos elétricos e gravitacionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas segundas da função em relação a cada variável x , y e z , e depois somar essas derivadas para ver se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada segunda de f em relação a x . A função em relação a x é f(x, y, z) = x^2 + e^y - z . A primeira derivada em relação a x é fx = 2x . Agora, a segunda derivada em relação a x é fxx = 2 .

Passo 3

Agora, vamos para a variável y . A função em relação a y é f(x, y, z) = x^2 + e^y - z . A primeira derivada em relação a y é fy = e^y . A segunda derivada em relação a y é fyy = e^y .

Passo 4

Finalmente, vamos calcular em relação a z . A função em relação a z é f(x, y, z) = x^2 + e^y - z . A primeira derivada em relação a z é fz = -1 . A segunda derivada em relação a z é fzz = 0 .

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas segundas, vamos somar elas de acordo com a equação de Laplace:
De<a f = fxx + fyy + fzz = 2 + e^y + 0 = 2 + e^y
Para a função satisfazer a equação de Laplace, essa soma precisa ser igual a zero:
2 + e^y = 0
No entanto, e^y é sempre positivo, e somando com 2 nunca dá zero.

Resposta

A função f(x, y, z) = x^2 + e^y - z não satisfaz a equação de Laplace.

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