Verifique se as funções dadas satisfazem a equação de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece bastante em física e matemática, usada para descrever fenômenos como campos elétricos e gravitacionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas segundas da função em relação a cada variável
,
e
, e depois somar essas derivadas para ver se o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada segunda de
em relação a
. A função em relação a
é
. A primeira derivada em relação a
é
. Agora, a segunda derivada em relação a
é
.
Passo 3
Agora, vamos para a variável
. A função em relação a
é
. A primeira derivada em relação a
é
. A segunda derivada em relação a
é
.
Passo 4
Finalmente, vamos calcular em relação a
. A função em relação a
é
. A primeira derivada em relação a
é
. A segunda derivada em relação a
é
.
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas segundas, vamos somar elas de acordo com a equação de Laplace:
Para a função satisfazer a equação de Laplace, essa soma precisa ser igual a zero:
No entanto,
é sempre positivo, e somando com 2 nunca dá zero.
Resposta
A função
não satisfaz a equação de Laplace.