Determine a equação vetorial da curva formada pela intersecção do cone z^2=x^2+y^2 com o plano z=2 :
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r(t)=(cos t) i+(sen t) j+(2-sen t) k, 0 <= t <= 2 pi
r(t)=(3 cos t) i+(3 sen t) j+1 k, 0 <= t <= 2 pi
r(t)=(4 cos t) i+(4 sen t) j+(3-4 cos t) k, 0 <= t <= 2 pi
r(t)=(2 cos t) i+2 j+(2 sen t) k, 0 <= t <= 2 pi
r(t)=(2 cos t) i+(2 sen t) j+2 k, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação vetorial da curva formada pela intersecção de um cone com um plano. Especificamente, temos o cone dado por z^2 = x^2 + y^2 e o plano z = 2. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações vetoriais e como encontrar a intersecção de superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a intersecção entre o cone z^2 = x^2 + y^2 e o plano z = 2. A intersecção de duas superfícies geométricas geralmente forma uma curva. Neste caso, substituímos o valor de z do plano na equação do cone para encontrar essa curva.

Passo 3

Substituindo z = 2 na equação do cone:
(2)^2 = x^2 + y^2
4 = x^2 + y^2
Essa é a equação de um círculo no plano z = 2 com raio 2.

Passo 4

Agora, vamos escrever a equação vetorial dessa curva. Para um círculo de raio R = 2 no plano z = 2, podemos parametrizar as coordenadas x e y usando funções trigonométricas. A parametrização padrão é:
x = R cos t = 2 cos t
y = R sin t = 2 sin t
E como z é constante no plano z = 2, temos:
z = 2

Passo 5

Juntando tudo, a equação vetorial da curva é:
r(t) = (2 cos t) i + (2 sin t) j + 2 k, 0 <= t <= 2pi

Resposta

A equação vetorial da curva é:
r(t) = (2 cos t) i + (2 sin t) j + 2 k, 0 <= t <= 2pi

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