Exercício 1: Use o teorema de Stokes para calcular a integral integralC F cdot d r, onde\n F(x, y, z)=(y z+x^3, x z+3 y^2, x y+4) e C é a curva obtida como interseção das superfies de equações z=5-y^2, z >= 1, e x+z=5, orientada no sentido de crescimento de y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha integralC F cdot dr usando o Teorema de Stokes. O campo vetorial dado é F(x, y, z) = (yz + x^3, xz + 3y^2, xy + 4). A curva C é a interseção das superfícies z = 5 - y^2, com z >= 1, e x + z = 5, orientada no sentido de crescimento de y. Para resolver, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada com a integral de superfície sobre uma superfície limitada por essa curva. Precisaremos calcular o rotacional de F e a integral de superfície correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície S que é limitada pela curva C. As equações dadas são z = 5 - y^2 e x + z = 5. Podemos resolver a segunda equação para x: x = 5 - z. Substituindo na primeira equação: z = 5 - y^2, então x = 5 - (5 - y^2) = y^2. Portanto, a curva C pode ser parametrizada em termos de y.

Passo 3

Segundo o Teorema de Stokes, temos:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS
Onde nabla times F é o rotacional de F e n é o vetor normal à superfície S.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F. Se F = (Fx, Fy, Fz), então:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Calculando cada componente:
  • partial Fzpartial y = partialpartial y(xy + 4) = x
  • partial Fypartial z = partialpartial z(xz + 3y^2) = x
  • partial Fxpartial z = partialpartial z(yz + x^3) = y
  • partial Fzpartial x = partialpartial x(xy + 4) = y
  • partial Fypartial x = partialpartial x(xz + 3y^2) = z
  • partial Fxpartial y = partialpartial y(yz + x^3) = z
Portanto,
nabla times F = (x - x, y - y, z - z) = (0, 0, 0)

Passo 5

Com o rotacional de F sendo zero, temos:
integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = integral duplaS 0 cdot n, dS = 0

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes, concluímos que:
integralC F cdot dr = 0

Resposta

A integral integralC F cdot dr vale 0.

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