Exercício 1: Use o teorema de Stokes para calcular a integral
, onde\n
e
é a curva obtida como interseção das superfies de equações
, e
, orientada no sentido de crescimento de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. O campo vetorial dado é
. A curva
é a interseção das superfícies
, com
, e
, orientada no sentido de crescimento de
. Para resolver, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada com a integral de superfície sobre uma superfície limitada por essa curva. Precisaremos calcular o rotacional de
e a integral de superfície correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície
que é limitada pela curva
. As equações dadas são
e
. Podemos resolver a segunda equação para
:
. Substituindo na primeira equação:
, então
. Portanto, a curva
pode ser parametrizada em termos de
.
Passo 3
Segundo o Teorema de Stokes, temos:
Onde
é o rotacional de
e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
. Se
, então:
Calculando cada componente:
Portanto,
Passo 5
Com o rotacional de
sendo zero, temos:
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes, concluímos que:
Resposta
A integral
vale
.