Calcule:
(a) integral0^1 1(x+1)^5 d x
(h) integral0^1 sraizs^2+1 d s
(b) integral-1^0 t^2 raiz1+t^3 d t
(i) integral-1^1 x^3(x^2+3)^10 d x
(c) integral0^1 x(x+1)^5 d x
(j) integral0^pi3 sen(x) cos ^2(x) d x
(d) integral-1^0 x^2 e^x^3 d x
(k) integralpi3^pi2 sen(x) sen^2(x) d x
(e) integral0^1 x raiz1+2 x^2 d x
(1) integralpi3^pi2 sen^3(x) d x
(f) integral1^2 3 s1+s^2 d s
(m) integral0^pi6 cos ^3(y) d y
(g) integral0^3 xraizx+1 d x
(n) integral0^pi6 cos (z) sen^5(z) d z.

Passo 1

Temos uma lista de integrais definidas envolvendo potências, radicais, exponenciais e funções trigonométricas. Vamos usar principalmente as técnicas de substituição u=ax+b, divisão de termos e, quando possível, simetria de integrandos ímpares.

Passo 2

Para os itens (a) e (c) fazemos a substituição
u = x + 1, du = dx, x=0to u=1,;x=1to u=2
(a)
integral0^11(x+1)^5dx = integral1^2u^-5du = l[tfracu^-4-4r]1^2 = tfrac1564
(c)
integral0^1x(x+1)^5dx = integral1^2u-1u^5du = integral1^2(u^-4-u^-5)du = l[-tfracu^-33+tfracu^-44r]1^2 = tfrac11192

Passo 3

(f) integral1^23s1+s^2ds.
Use u=1+s^2, du=2s,ds, u(1)=2, u(2)=5:
integral1^23s1+s^2ds = tfrac32integral2^5duu = tfrac32[ln u]2^5 = tfrac32ln!tfrac52

Passo 4

(g) integral0^3xraizx+1dx.
Com u=x+1, du=dx, x=u-1, u(0)=1, u(3)=4:
integral0^3xraizx+1dx = integral1^4u-1u^1/2du = integral1^4(u^1/2-u^-1/2)du = l[tfrac23u^3/2-2u^1/2r]1^4 = tfrac83

Passo 5

Itens (b) e (d) usam substituições do tipo u=t^3 ou u=1+t^3.
(b) integral-1^0t^2raiz1+t^3dt.
Seja u=1+t^3, du=3t^2dt, t=-1to u=0, t=0to u=1:
integral-1^0t^2(1+t^3)^1/2dt = tfrac13integral0^1u^1/2du = tfrac29
(d) integral-1^0x^2e^x^3dx.
Use u=x^3, du=3x^2dx, x=-1to u=-1, x=0to u=0:
integral-1^0x^2e^x^3dx = tfrac13integral-1^0e^udu = tfrac1-e^-13

Passo 6

Itens (e) e (h) envolvem radicais quadráticos.
(e) integral0^1xraiz1+2x^2dx.
Com u=1+2x^2, du=4x,dx, u(0)=1, u(1)=3:
integral0^1xraiz1+2x^2dx = tfrac14integral1^3u^1/2du = tfrac3raiz3-16
(h) integral0^1sraizs^2+1ds.
Seja u=s^2+1, du=2s,ds, u(0)=1, u(1)=2:
integral0^1sraizs^2+1ds = tfrac12integral1^2u^-1/2du = raiz2-1

Passo 7

(i) integral-1^1x^3(x^2+3)^10dx.
O integrando é função ímpar em [-1,1], logo o valor é
0

Passo 8

(j) integral0^pi/3sin xcos^2x,dx.
Use u=cos x, du=-sin x,dx, u(0)=1, u(pi/3)=tfrac12:
integral0^pi/3sin xcos^2x,dx = integral1^1/2-u^2du = integral1/2^1u^2du = tfrac724

Passo 9

(k) e (l) exigem integralsin^3x,dx. Uma primitiva é
integralsin^3x,dx = -cos x + tfraccos^3x3
Avaliada de pi/3 a pi/2
-cos x + tfraccos^3x3|pi/3^pi/2 = tfrac1124

Passo 10

(m) integral0^pi/6cos^3y,dy e
(n) integral0^pi/6cos z,sin^5z,dz.
(m) Use cos^3y=cos y(1-sin^2y), u=sin y, du=cos y,dy, u(0)=0, u(pi/6)=tfrac12:
integral0^pi/6cos^3y,dy = integral0^1/2(1-u^2)du = tfrac1124
(n) Seja u=sin z, du=cos z,dz, u(0)=0, u(pi/6)=tfrac12:
integral0^pi/6cos z,sin^5z,dz = integral0^1/2u^5du = tfrac1384

Resposta

(a) tfrac1564
(b) tfrac29
(c) tfrac11192
(d) tfrac1-e^-13
(e) tfrac3raiz3-16
(f) tfrac32lntfrac52
(g) tfrac83
(h) raiz2-1
(i) 0
(j) tfrac724
(k) tfrac1124
(l) tfrac1124
(m) tfrac1124
(n) tfrac1384

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