Calcule, se houver, os pontos de inflexão das seguintes funções:
f_{3}(x)=\tan (x)

Passo 1

O enunciado pede: "Calcule, se houver, os pontos de inflexão da função f_{3}(x)=\tan(x)".\n
Informações dadas e observações iniciais que vêm do enunciado:\n
  • A função em estudo é f(x)=\tan(x).\n
  • A função \tan(x) não está definida quando \cos(x)=0; ou seja, seu domínio é \mathbb{R} menos os pontos x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Vou usar essa informação quando for verificar se candidatos a ponto de inflexão pertencem ao domínio.\n
  • O que precisamos encontrar são os pontos onde a concavidade muda (pontos de inflexão). Não vou resolver nada ainda — só identifiquei o que o problema pede e os dados relevantes.

Passo 2

Lembrete rápido e prático sobre derivadas que vou usar: para checar pontos de inflexão precisamos da segunda derivada f''(x). Então primeiro calculamos f'(x) e depois f''(x).\n
Derivada da tangente: podemos obter \dfrac{d}{dx}\tan(x) usando a regra do quociente em \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}, ou lembrar da identidade padrão. Vou mostrar com a regra do quociente de forma didática.\n
A regra do quociente diz que, para g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, temos g'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}. Aqui u=\sin x e v=\cos x. Então:\n
u'=\cos x,\qquad v'=-\sin x.\n
Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}.\n
Como \cos^2 x+\sin^2 x=1, obtemos a fórmula clássica
\frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.\n
Portanto
f'(x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada f''(x). Vou usar a regra da cadeia: se h(x)=(\operatorname{sec} x)^2, então h'(x)=2\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x)'. E sabemos que (\operatorname{sec} x)'=\operatorname{sec} x\tan x. Assim:\n
f''(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sec}^2 x = 2\operatorname{sec} x\cdot\operatorname{sec} x\tan x = 2\operatorname{sec}^2 x\tan x.\n
Posso reescrever também como
f''(x)=2\tan x\operatorname{sec}^2 x.\n
Observação útil: \operatorname{sec}^2 x>0 para todo x onde a função está definida (porque é 1/\cos^2 x, e \cos^2 x>0 no domínio). Assim o sinal de f''(x) depende somente do sinal de \tan x.

Passo 4

Condição para ponto de inflexão (explicação didática): um ponto x_0 do domínio é ponto de inflexão se a concavidade muda quando passamos por x_0. Um teste prático: procurar pontos onde f''(x_0)=0 ou f'' é indefinida, e então verificar se o sinal de f'' muda ao passar por x_0.\n
Aplicando isso a f''(x)=2\tan x\operatorname{sec}^2 x:\n
  • Zeros de f'': como \operatorname{sec}^2 x\neq 0 no domínio, os zeros vêm de \tan x=0. Assim
\tan x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.\n
  • Verificação de domínio: em x=k\pi temos \cos(k\pi)=\pm1\neq0, logo \tan e todas as derivadas estão bem definidas nesses pontos. Portanto os candidatos x=k\pi pertencem ao domínio da função.\n
  • Mudança de sinal de f'': já que \operatorname{sec}^2 x>0, o sinal de f''(x) é o mesmo que o sinal de \tan x. A função \tan x é contínua entre assimptotas e tem comportamento local semelhante a uma função ímpar com zero simples em x=k\pi: perto de x=k\pi, \tan(x)\approx x-k\pi. Isso implica que \tan x muda de sinal ao atravessar x=k\pi (por exemplo, em x=0 passa de negativo para positivo quando vamos da esquerda para a direita). Portanto f'' muda de sinal em cada x=k\pi, o que confirma mudança de concavidade nesses pontos.\n
  • Pontos onde f'' é indefinida: f'' é indefinida nas assimptotas verticais x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi porque \operatorname{sec}^2 explode ali; entretanto nesses pontos a função \tan também não está definida, então não são pontos do gráfico e não podem ser pontos de inflexão.\n
    Conclusão intermediária: cada x=k\pi é realmente um ponto de inflexão, e a ordenada correspondente é f(k\pi)=\tan(k\pi)=0. Logo os pontos de inflexão são \big(k\pi,0\big) para todo k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Recapitulação e interpretação intuitiva: a tangente tem inflexões nos zeros porque ali a curva passa de curvada para baixo (concavidade negativa) para curvada para cima (concavidade positiva), ou vice-versa, e isso ocorre periodicamente a cada período \pi. Não há outros pontos de inflexão porque os únicos lugares onde f'' pode ser zero são x=k\pi, e os pontos onde f'' é indefinida não pertencem ao domínio da função.

Resposta

\big(k\pi,0\big),\;k\in\mathbb{Z}

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