Calcule, se houver, os pontos de inflexão das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Calcule, se houver, os pontos de inflexão da função
".\n
Informações dadas e observações iniciais que vêm do enunciado:\n
Informações dadas e observações iniciais que vêm do enunciado:\n
- A função em estudo é
.\n - A função
não está definida quando ; ou seja, seu domínio é menos os pontos , com . Vou usar essa informação quando for verificar se candidatos a ponto de inflexão pertencem ao domínio.\n - O que precisamos encontrar são os pontos onde a concavidade muda (pontos de inflexão). Não vou resolver nada ainda — só identifiquei o que o problema pede e os dados relevantes.
Passo 2
Lembrete rápido e prático sobre derivadas que vou usar: para checar pontos de inflexão precisamos da segunda derivada
. Então primeiro calculamos
e depois
.\n
Derivada da tangente: podemos obter usando a regra do quociente em
, ou lembrar da identidade padrão. Vou mostrar com a regra do quociente de forma didática.\n
A regra do quociente diz que, para , temos
. Aqui
e
. Então:\n
Derivada da tangente: podemos obter
A regra do quociente diz que, para
Aplicando a regra do quociente:
Como
, obtemos a fórmula clássica
Portanto
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
. Vou usar a regra da cadeia: se
, então
. E sabemos que
. Assim:\n
Posso reescrever também como
Observação útil:
para todo
onde a função está definida (porque é
, e
no domínio). Assim o sinal de
depende somente do sinal de
.
Passo 4
Condição para ponto de inflexão (explicação didática): um ponto
do domínio é ponto de inflexão se a concavidade muda quando passamos por
. Um teste prático: procurar pontos onde
ou
é indefinida, e então verificar se o sinal de
muda ao passar por
.\n
Aplicando isso a :\n
Aplicando isso a
- Zeros de
: como no domínio, os zeros vêm de . Assim
- Verificação de domínio: em
temos , logo e todas as derivadas estão bem definidas nesses pontos. Portanto os candidatos pertencem ao domínio da função.\n - Mudança de sinal de
: já que , o sinal de é o mesmo que o sinal de . A função é contínua entre assimptotas e tem comportamento local semelhante a uma função ímpar com zero simples em : perto de , . Isso implica que muda de sinal ao atravessar (por exemplo, em passa de negativo para positivo quando vamos da esquerda para a direita). Portanto muda de sinal em cada , o que confirma mudança de concavidade nesses pontos.\n - Pontos onde
é indefinida: é indefinida nas assimptotas verticais porque explode ali; entretanto nesses pontos a função também não está definida, então não são pontos do gráfico e não podem ser pontos de inflexão.\n
Conclusão intermediária: cadaé realmente um ponto de inflexão, e a ordenada correspondente é . Logo os pontos de inflexão são para todo .
Passo 5
Recapitulação e interpretação intuitiva: a tangente tem inflexões nos zeros porque ali a curva passa de curvada para baixo (concavidade negativa) para curvada para cima (concavidade positiva), ou vice-versa, e isso ocorre periodicamente a cada período
. Não há outros pontos de inflexão porque os únicos lugares onde
pode ser zero são
, e os pontos onde
é indefinida não pertencem ao domínio da função.