Calcule:
i^{1814}

Passo 1

O enunciado pede calcular i^{1814}.
Informações relevantes dadas: i é a unidade imaginária e satisfaz \,i^{2}=-1.\,

Passo 2

Vamos explorar as primeiras potências de i para ver um padrão:
i^{1}=i,
i^{2}=-1 (dado),
i^{3}=i^{2}\cdot i = -1\cdot i = -i,
i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)\cdot(-1)=1.

Passo 3

Observação importante (essa é a ferramenta chave): como i^{4}=1, as potências de i repetem a cada 4 expoentes. Em termos gerais, para um inteiro n escrevemos n=4k+r com k inteiro e r\in\{0,1,2,3\}. Então, usando a propriedade de potências \,a^{m+n}=a^{m}a^{n} e \,(a^{m})^{n}=a^{mn}, temos
i^{n}=i^{4k+r}=(i^{4})^{k}\,i^{r}=1^{k}\,i^{r}=i^{r}.
Assim basta saber o resto r da divisão de n por 4.

Passo 4

Calculamos o resto da divisão de 1814 por 4. Fazendo a divisão inteira:
1814 = 4\cdot 453 + 2,
portanto o resto é r=2.

Passo 5

Pelo raciocínio do passo anterior,
i^{1814}=i^{4\cdot 453 + 2}= (i^{4})^{453}\,i^{2}=1^{453}\,i^{2}=i^{2}.
Do passo 2 (e do dado do enunciado) sabemos que i^{2}=-1.

Passo 6

Dica rápida para a prova: sempre reduza o expoente módulo 4. Exemplos rápidos: se o resto for 0 o resultado é 1; se for 1 é i; se for 2 é -1; se for 3 é -i. Isso te salva tempo sem calculadora.

Resposta

-1

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