Calcule:
i^{426}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \,i^{426}\,.
Informações relevantes dadas (ou conhecidas e que vamos usar): \,i é a unidade imaginária e satisfaz \,i^{2} = -1\,. Não vamos resolver ainda, só registrando o que temos.

Passo 2

Vamos explorar os primeiros expoentes para ver um padrão. Calculemos:
i^{1}=i,
i^{2}=-1,
i^{3}=i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i,
i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)\cdot(-1)=1.
Repara que em quatro passos voltamos a 1.

Passo 3

Explicação didática do padrão: como \,i^{4}=1, qualquer potência de i pode ser escrita na forma \,i^{4k+r} com k inteiro e r\in\{0,1,2,3\}. Usando propriedades de potências:
i^{4k+r}=(i^{4})^{k}\cdot i^{r}=1^{k}\cdot i^{r}=i^{r}.
Ou seja, os expoentes de i são periódicos de período 4. Para calcular i^{n} basta achar o resto da divisão de n por 4 e avaliar i^{r} com r esse resto.

Passo 4

Reduzimos o expoente \,426 módulo 4 (isto é, encontramos o resto da divisão de 426 por 4):
426 \div 4 = 106 \quad\text{com resto}\quad 426-4\cdot106 = 426-424 = 2.
Portanto o resto é r=2, e podemos escrever \,426 = 4\cdot106 + 2\,.

Passo 5

Aplicando a propriedade do Passo 3:
i^{426}=i^{4\cdot106+2}=(i^{4})^{106}\cdot i^{2}=1^{106}\cdot i^{2}=i^{2}.
E do Passo 2 sabemos que i^{2}=-1. Então:
i^{426}=-1.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (apenas para treinar):
\,i^{427} tem resto 3 ao dividir por 4, então \,i^{427}=i^{3}=-i.
\,i^{428} tem resto 0, então \,i^{428}=i^{0}=1.
Vai dar tudo certo na prova — esse truque de reduzir expoente módulo 4 é o que costuma cair direto.

Resposta

-1

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