Calcule:
\mathrm{i}^{2121}

Passo 1

O que o problema pede: calcular \mathrm{i}^{2121}, onde \mathrm{i} é a unidade imaginária (aquela com a propriedade \mathrm{i}^2=-1). As informações dadas são apenas a base \mathrm{i} e o expoente 2121. Vamos determinar o valor numérico de \mathrm{i}^{2121}.

Passo 2

Observação básica sobre potências de \mathrm{i}: há um padrão explícito para as potências pequenas. Vou escrever as primeiras potências para você memorizar:
\mathrm{i}^1=\mathrm{i}
\mathrm{i}^2=-1
\mathrm{i}^3=-\mathrm{i}
\mathrm{i}^4=1
Note que a partir de \mathrm{i}^4 o padrão repete, porque \mathrm{i}^4=1 e multiplicar por \mathrm{i}^4 não altera o valor.

Passo 3

Consequência útil (a ideia-chave para a prova): como \mathrm{i}^4=1, para qualquer inteiro n vale
\mathrm{i}^{n+4}=\mathrm{i}^n.
Isto significa que as potências de \mathrm{i} ciclam de 4 em 4. Então, para calcular \mathrm{i}^n basta conhecer o resto da divisão de n por 4. Formalmente, escrevemos n=4k+r com r\in\{0,1,2,3\} e obtemos
\mathrm{i}^n=\mathrm{i}^{4k+r}=(\mathrm{i}^4)^k\mathrm{i}^r=1^k\mathrm{i}^r=\mathrm{i}^r.
Aqui k é a parte inteira da divisão e r é o resto. Portanto precisamos só achar r.

Passo 4

Calcular o resto da divisão de 2121 por 4. Faço a divisão inteira:
4\times 530 = 2120.
Subtraindo, o resto é
2121-2120=1.
Logo o resto r é 1. Em notação: 2121 \equiv 1 \pmod{4}.

Passo 5

Usando a redução do expoente:
\mathrm{i}^{2121}=\mathrm{i}^{4\cdot 530 + 1}=(\mathrm{i}^4)^{530}\mathrm{i}^1=1^{530}\mathrm{i}=\mathrm{i}.
Portanto o valor pedido é \mathrm{i}. Dica rápida para a prova: sempre reduza expoentes de \mathrm{i} módulo 4 — fica bem rápido.

Resposta

\mathrm{i}

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