Calcule:
i^{375}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule i^{375}. As informações relevantes que temos (implícitas no uso de i) são: i é a unidade imaginária e satisfaz \,i^{2}=-1. Preciso usar isso para encontrar o valor da potência.

Passo 2

Vamos listar as primeiras potências de i para ver um padrão:
i^{1}=i.
i^{2}=-1 (pela definição).
i^{3}=i^{2}\cdot i=(-1)\cdot i=-i.
i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)\cdot(-1)=1.

Passo 3

Observe o padrão acima: as potências de i repetem a cada 4 expoentes, ou seja, há um ciclo de período 4:
i^{1}=i,\; i^{2}=-1,\; i^{3}=-i,\; i^{4}=1,\; i^{5}=i, e assim por diante. Portanto, para qualquer inteiro n basta reduzir n módulo 4 para saber qual das quatro possibilidades aparece.

Passo 4

Calculo o resto da divisão de 375 por 4 para saber em que posição do ciclo estamos:
375 = 4\cdot 93 + 3,
logo o resto é 3. (Verifique: 4\cdot 93 = 372 e 375-372=3.)

Passo 5

Escrevo i^{375} usando a decomposição em múltiplo de 4:
i^{375}=i^{4\cdot 93 + 3}=(i^{4})^{93}\cdot i^{3}.
Como i^{4}=1, temos (i^{4})^{93}=1^{93}=1.

Passo 6

Portanto
i^{375}=1\cdot i^{3}=i^{3}.
E já calculamos i^{3} no Passo 2: i^{3}=-i.

Resposta

-i

Exercícios relacionados