Resolver as equações:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
.
Informações dadas: os coeficientes da equação quadrática são ,
e
.
Objetivo: encontrar todos os valores de que satisfazem a equação.
Informações dadas: os coeficientes da equação quadrática são
Objetivo: encontrar todos os valores de
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o método de completar o quadrado.
Por quê? Porque é um método elemental, fácil de aplicar à mão e que nos mostra claramente a forma da equação; além disso, ele nos leva direto às raízes (inclusive complexas) sem depender de decorar fórmulas. (Observação: também poderíamos usar a fórmula de Bhaskara, que dará o mesmo resultado — eu mostro a verificação com o discriminante mais à frente.)
Por quê? Porque é um método elemental, fácil de aplicar à mão e que nos mostra claramente a forma da equação; além disso, ele nos leva direto às raízes (inclusive complexas) sem depender de decorar fórmulas. (Observação: também poderíamos usar a fórmula de Bhaskara, que dará o mesmo resultado — eu mostro a verificação com o discriminante mais à frente.)
Passo 3
Breve explicação do método “completar o quadrado”: para uma equação do tipo
com
, dividimos por
e escrevemos
Agrupamos os dois primeiros termos e adicionamos e subtraímos o quadrado de metade do coeficiente de
para formar um quadrado perfeito. Ou seja, adicionamos
aos dois lados, obtendo algo da forma
. Depois extraímos raiz quadrada e resolvemos para
. Isso transforma a quadrática numa equação de primeiro grau após a extração da raiz.
Passo 4
Aplicando o completar o quadrado à nossa equação
: escrevemos os termos com
de um lado:
Agora calculamos metade do coeficiente de
: metade de
é
. O quadrado dessa metade é
. Vamos somar
aos dois lados para completar o quadrado:
O lado esquerdo é agora um quadrado perfeito e o direito simplifica:
Passo 5
Extraímos raiz quadrada em ambos os lados. Lembre-se: quando o número à direita é negativo, obtemos raízes complexas envolvendo a unidade imaginária
, com
. Assim,
Isolando
,
Essas são as duas soluções (complexas conjugadas) da equação.
Passo 6
Verificação rápida usando o discriminante (para confirmar a natureza das raízes): o discriminante é
. Com
,
,
,
Como
, esperamos duas raízes complexas conjugadas. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
confirmando o resultado obtido por completar o quadrado.
Passo 7
Pequena checagem multiplicativa (fatoração): podemos fatorar o polinômio como
Expandindo mentalmente ou usando a diferença de quadrados complexa:
logo a fatoração e as raízes estão corretas.