Resolver as equações:
(f) x^{2}-8 x+20=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação x^{2}-8 x+20=0.
Informações dadas: os coeficientes da equação quadrática são a=1, b=-8 e c=20.
Objetivo: encontrar todos os valores de x que satisfazem a equação.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o método de completar o quadrado.
Por quê? Porque é um método elemental, fácil de aplicar à mão e que nos mostra claramente a forma da equação; além disso, ele nos leva direto às raízes (inclusive complexas) sem depender de decorar fórmulas. (Observação: também poderíamos usar a fórmula de Bhaskara, que dará o mesmo resultado — eu mostro a verificação com o discriminante mais à frente.)

Passo 3

Breve explicação do método “completar o quadrado”: para uma equação do tipo a x^{2}+b x+c=0 com a\neq0, dividimos por a e escrevemos
x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.
Agrupamos os dois primeiros termos e adicionamos e subtraímos o quadrado de metade do coeficiente de x para formar um quadrado perfeito. Ou seja, adicionamos \left(\frac{b}{2a}\right)^{2} aos dois lados, obtendo algo da forma (x+\frac{b}{2a})^{2}=\text{(algo)}. Depois extraímos raiz quadrada e resolvemos para x. Isso transforma a quadrática numa equação de primeiro grau após a extração da raiz.

Passo 4

Aplicando o completar o quadrado à nossa equação x^{2}-8x+20=0: escrevemos os termos com x de um lado:
x^{2}-8x = -20.
Agora calculamos metade do coeficiente de x: metade de -8 é -4. O quadrado dessa metade é (-4)^{2}=16. Vamos somar 16 aos dois lados para completar o quadrado:
x^{2}-8x+16 = -20+16.
O lado esquerdo é agora um quadrado perfeito e o direito simplifica:
(x-4)^{2} = -4.

Passo 5

Extraímos raiz quadrada em ambos os lados. Lembre-se: quando o número à direita é negativo, obtemos raízes complexas envolvendo a unidade imaginária i, com i^{2}=-1. Assim,
x-4 = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i.
Isolando x,
x = 4 \pm 2i.
Essas são as duas soluções (complexas conjugadas) da equação.

Passo 6

Verificação rápida usando o discriminante (para confirmar a natureza das raízes): o discriminante é \Delta = b^{2}-4ac. Com a=1, b=-8, c=20,
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot1\cdot20 = 64-80 = -16.
Como \Delta<0, esperamos duas raízes complexas conjugadas. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8\pm\sqrt{-16}}{2} = \frac{8\pm 4i}{2} = 4\pm 2i,
confirmando o resultado obtido por completar o quadrado.

Passo 7

Pequena checagem multiplicativa (fatoração): podemos fatorar o polinômio como
x^{2}-8x+20 = (x-(4+2i))(x-(4-2i)).
Expandindo mentalmente ou usando a diferença de quadrados complexa:
(x-4)^{2}-(2i)^{2} = (x^{2}-8x+16)-(-4) = x^{2}-8x+20,
logo a fatoração e as raízes estão corretas.

Resposta

x=4+2i
x=4-2i

Exercícios relacionados