Resolver as equações:
(e) 2 x^{2}-2 x+1=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2x^{2}-2x+1=0.
Informações dadas: a expressão quadrática em x com coeficientes numéricos 2, -2 e 1. A tarefa é encontrar todos os valores de x que satisfaçam essa igualdade.

Passo 2

Escolhi fazer a resolução por completar o quadrado (método bem didático e que mostra por que aparecem números complexos aqui). Depois mostro o mesmo resultado usando a fórmula quadrática para você ver a conexão e praticar o uso dessa fórmula na prova.

Passo 3

Primeiro simplifico dividindo a equação por 2 (isso facilita o completar o quadrado):
\frac{2x^{2}-2x+1}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-x+\tfrac{1}{2}=0.
Explicação: dividir por 2 preserva as soluções (desde que não estejamos dividindo por zero, o que não é o caso). Agora temos um coeficiente principal 1, que é o mais simples para completar o quadrado.

Passo 4

Agora faço o completar do quadrado em x^{2}-x+\tfrac{1}{2}.
Passo padrão para completar o quadrado em x^{2}+px: acrescento e subtraio (p/2)^{2}.
Aqui p=-1, então (p/2)^{2}=(-1/2)^{2}=\tfrac{1}{4}. Faço:
x^{2}-x+\tfrac{1}{2} = \bigl(x^{2}-x+\tfrac{1}{4}\bigr) + \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}.
Observação: \;x^{2}-x+\tfrac{1}{4}=(x-\tfrac{1}{2})^{2}. Calculando o resto \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}. Portanto
x^{2}-x+\tfrac{1}{2}=(x-\tfrac{1}{2})^{2}+\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Substituo isso na equação original (já dividida por 2):
(x-\tfrac{1}{2})^{2}+\tfrac{1}{4}=0.
Isolando o quadrado:
(x-\tfrac{1}{2})^{2}=-\tfrac{1}{4}.
Interpretação: o quadrado de um número real não pode ser negativo, logo não existem soluções reais. Para obter soluções temos de entrar no conjunto dos números complexos, usando a unidade imaginária i definida por i^{2}=-1. Tomando raiz quadrada em ambos os lados:
x-\tfrac{1}{2}=\pm\sqrt{-\tfrac{1}{4}}=\pm\frac{\sqrt{-1}}{2}=\pm\frac{i}{2}.
Logo
x=\tfrac{1}{2}\pm\tfrac{i}{2}.
Podemos também escrever as soluções de forma combinada:
x=\frac{1\pm i}{2}.

Passo 6

Agora faço o mesmo resultado usando a fórmula quadrática (útil para a prova). Para uma equação geral ax^{2}+bx+c=0 a fórmula das raízes é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Breve explicação: essa fórmula vem exatamente de completar o quadrado de forma geral; a quantidade \Delta=b^{2}-4ac é chamada discriminante e indica o tipo das raízes (se \Delta>0 duas reais diferentes, \Delta=0 uma real dupla, \Delta<0 duas complexas conjugadas).
Aplicando ao nosso caso a=2, b=-2, c=1:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot 2\cdot 1 = 4-8=-4.
Como \Delta=-4<0, esperamos duas raízes complexas conjugadas. Calculando:
x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{-4}}{2\cdot 2}=\frac{2\pm 2i}{4}=\frac{1\pm i}{2},
que coincide com o resultado do completar o quadrado.

Passo 7

Comentário final e dica para a prova: quando os coeficientes são simples, completar o quadrado é rápido e mostra por que aparece i. A fórmula quadrática é direta e confiável em todos os casos; calcule o discriminante primeiro para saber se as raízes serão reais ou complexas.

Resposta

\displaystyle x=\frac{1+i}{2}
\displaystyle x=\frac{1-i}{2}

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