Resolver as equações:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas: a expressão quadrática em
com coeficientes numéricos
,
e
. A tarefa é encontrar todos os valores de
que satisfaçam essa igualdade.
Passo 2
Escolhi fazer a resolução por completar o quadrado (método bem didático e que mostra por que aparecem números complexos aqui). Depois mostro o mesmo resultado usando a fórmula quadrática para você ver a conexão e praticar o uso dessa fórmula na prova.
Passo 3
Primeiro simplifico dividindo a equação por
(isso facilita o completar o quadrado):
Explicação: dividir por
preserva as soluções (desde que não estejamos dividindo por zero, o que não é o caso). Agora temos um coeficiente principal
, que é o mais simples para completar o quadrado.
Passo 4
Agora faço o completar do quadrado em
.
Passo padrão para completar o quadrado em : acrescento e subtraio
.
Aqui , então
. Faço:
Passo padrão para completar o quadrado em
Aqui
Observação:
. Calculando o resto
. Portanto
Passo 5
Substituo isso na equação original (já dividida por
):
Isolando o quadrado:
Interpretação: o quadrado de um número real não pode ser negativo, logo não existem soluções reais. Para obter soluções temos de entrar no conjunto dos números complexos, usando a unidade imaginária
definida por
. Tomando raiz quadrada em ambos os lados:
Logo
Podemos também escrever as soluções de forma combinada:
Passo 6
Agora faço o mesmo resultado usando a fórmula quadrática (útil para a prova). Para uma equação geral
a fórmula das raízes é
Breve explicação: essa fórmula vem exatamente de completar o quadrado de forma geral; a quantidade
é chamada discriminante e indica o tipo das raízes (se
duas reais diferentes,
uma real dupla,
duas complexas conjugadas).
Aplicando ao nosso caso
,
,
:
Como
, esperamos duas raízes complexas conjugadas. Calculando:
que coincide com o resultado do completar o quadrado.
Passo 7
Comentário final e dica para a prova: quando os coeficientes são simples, completar o quadrado é rápido e mostra por que aparece
. A fórmula quadrática é direta e confiável em todos os casos; calcule o discriminante primeiro para saber se as raízes serão reais ou complexas.