Calcule I=\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde \mathbf{F}(x, y)=x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j} e onde C é a curva definida por \mathbf{r}(t)= a \cos (t) \mathbf{i}+b \sin (t) \mathbf{j}, entre 0 \leq t \leq \pi / 2, sendo a, b \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule I=\int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, onde estão dadas as informações abaixo:
\mathbf{F}(x,y)=x^{2}\,\mathbf{i}+y^{2}\,\mathbf{j},
\mathbf{r}(t)=a\cos(t)\,\mathbf{i}+b\sin(t)\,\mathbf{j},
com 0\le t\le \pi/2 e a,b\neq 0.
As perguntas são: calcular o valor da integral de linha I ao longo da curva parametrizada por \mathbf{r}(t) no intervalo dado.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
Quando a curva C é dada por uma parametrização \mathbf{r}(t), a forma padrão de calcular a integral de linha de um campo vetorial \mathbf{F} é parametrizar \mathbf{F} por \mathbf{r}(t) e usar a fórmula
I=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
O que isso significa, em palavras simples:
  • \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade da curva — dá a variação infinitesimal do ponto sobre a curva quando t muda.
  • \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado no ponto da curva.
  • O produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) mede a componente de \mathbf{F} na direção do movimento; integrar isso ao longo de t soma essas contribuições ao longo da curva.
    Vou aplicar exatamente essa fórmula, pois a parametrização foi dada no enunciado e ela torna o cálculo direto.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t).
Derivo componente a componente:
\mathbf{r}(t)=a\cos(t)\,\mathbf{i}+b\sin(t)\,\mathbf{j}
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\mathbf{r}'(t)=-a\sin(t)\,\mathbf{i}+b\cos(t)\,\mathbf{j}.
Aqui usei que a derivada de \cos(t) é -\sin(t) e a de \sin(t) é \cos(t).

Passo 4

Calcular \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)).
Substituo x=a\cos(t) e y=b\sin(t) em \mathbf{F}(x,y)=x^{2}\mathbf{i}+y^{2}\mathbf{j}:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=a^{2}\cos^{2}(t)\,\mathbf{i}+b^{2}\sin^{2}(t)\,\mathbf{j}.

Passo 5

Formar o integrando \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).
Faço o produto escalar componente a componente:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = \bigl(a^{2}\cos^{2}(t)\bigr)\bigl(-a\sin(t)\bigr) + \bigl(b^{2}\sin^{2}(t)\bigr)\bigl(b\cos(t)\bigr).
Simplificando:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = -a^{3}\cos^{2}(t)\sin(t) + b^{3}\sin^{2}(t)\cos(t).

Passo 6

Escrever a integral em t e separar em duas integrais.
Usando a fórmula da Passo 2:
I=\int_{0}^{\pi/2}\bigl(-a^{3}\cos^{2}(t)\sin(t) + b^{3}\sin^{2}(t)\cos(t)\bigr)\,dt.
Que é a soma de duas integrais:
I = -a^{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}(t)\sin(t)\,dt \;+\; b^{3}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(t)\cos(t)\,dt.

Passo 7

Calcular a primeira integral com substituição u=\cos(t).
Defino u=\cos(t), então du=-\sin(t)\,dt (ou \sin(t)\,dt=-du). Quando t=0 temos u=1. Quando t=\pi/2 temos u=0.
Portanto
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}(t)\sin(t)\,dt = \int_{u=1}^{u=0} u^{2}(-du) = \int_{0}^{1} u^{2}\,du.
Essa integral é simples:
\int_{0}^{1} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Multiplicando pelo fator fora, a contribuição da primeira integral é
-a^{3}\cdot\frac{1}{3} = -\frac{a^{3}}{3}.

Passo 8

Calcular a segunda integral com substituição v=\sin(t).
Defino v=\sin(t), então dv=\cos(t)\,dt. Quando t=0 temos v=0. Quando t=\pi/2 temos v=1.
Portanto
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(t)\cos(t)\,dt = \int_{v=0}^{v=1} v^{2}\,dv = \left[\frac{v^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Multiplicando pelo fator fora, a contribuição da segunda integral é
b^{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{b^{3}}{3}.

Passo 9

Somar as contribuições e concluir.
Somando os resultados das duas integrais:
I = -\frac{a^{3}}{3} + \frac{b^{3}}{3} = \frac{b^{3}-a^{3}}{3}.
Uma checagem rápida: se a=b então I=0 — faz sentido fisicamente porque o campo e a curva são simétricos nesse caso (curva do quadrante de elipse com parâmetros iguais).

Resposta

\displaystyle \frac{b^{3}-a^{3}}{3}

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