Calcule
, onde
e onde
é a curva definida por
, entre
, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
, onde estão dadas as informações abaixo:
com
e
.
As perguntas são: calcular o valor da integral de linha ao longo da curva parametrizada por
no intervalo dado.
As perguntas são: calcular o valor da integral de linha
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
Quando a curva é dada por uma parametrização
, a forma padrão de calcular a integral de linha de um campo vetorial
é parametrizar
por
e usar a fórmula
Quando a curva
O que isso significa, em palavras simples:
-
é o vetor velocidade da curva — dá a variação infinitesimal do ponto sobre a curva quando muda. -
é o campo avaliado no ponto da curva. - O produto escalar
mede a componente de na direção do movimento; integrar isso ao longo de soma essas contribuições ao longo da curva.
Vou aplicar exatamente essa fórmula, pois a parametrização foi dada no enunciado e ela torna o cálculo direto.
Passo 3
Calcular
.
Derivo componente a componente:
Derivo componente a componente:
logo
Aqui usei que a derivada de
é
e a de
é
.
Passo 4
Calcular
.
Substituo e
em
:
Substituo
Passo 5
Formar o integrando
.
Faço o produto escalar componente a componente:
Faço o produto escalar componente a componente:
Simplificando:
Passo 6
Escrever a integral em
e separar em duas integrais.
Usando a fórmula da Passo 2:
Usando a fórmula da Passo 2:
Que é a soma de duas integrais:
Passo 7
Calcular a primeira integral com substituição
.
Defino , então
(ou
). Quando
temos
. Quando
temos
.
Portanto
Defino
Portanto
Essa integral é simples:
Multiplicando pelo fator fora, a contribuição da primeira integral é
Passo 8
Calcular a segunda integral com substituição
.
Defino , então
. Quando
temos
. Quando
temos
.
Portanto
Defino
Portanto
Multiplicando pelo fator fora, a contribuição da segunda integral é
Passo 9
Somar as contribuições e concluir.
Somando os resultados das duas integrais:
Somando os resultados das duas integrais:
Uma checagem rápida: se
então
— faz sentido fisicamente porque o campo e a curva são simétricos nesse caso (curva do quadrante de elipse com parâmetros iguais).