Calcule I=\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde \mathbf{F}(x, y)=y^{2} \mathbf{i}+x \mathbf{j} e onde C é a curva definida por \mathbf{r}(t)=a \cos (t) \mathbf{i}+ b \sin (t) \mathbf{j}, entre 0 \leq t \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle I=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. As informações que temos são:
\mathbf{F}(x,y)=y^{2}\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j},
\mathbf{r}(t)=a\cos(t)\,\mathbf{i}+b\sin(t)\,\mathbf{j},\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2},
onde \;a e \;b são constantes (os semi-eixos da elipse). O que nos é pedido é o valor numérico da integral de linha ao longo da curva parametrizada por \mathbf{r}(t) quando t varia de 0 a \pi/2.

Passo 2

Vamos calcular a derivada da parametrização \mathbf{r}(t). Diferenciando termo a termo:
\mathbf{r}(t)=a\cos t\,\mathbf{i}+b\sin t\,\mathbf{j}
\Rightarrow\quad \mathbf{r}'(t)=-a\sin t\,\mathbf{i}+b\cos t\,\mathbf{j}.
Explicando: \mathbf{r}'(t) é a velocidade ao longo da curva, obtida derivando a\cos t e b\sin t em relação a t.

Passo 3

Agora substituímos x e y pela parametrização dentro de \mathbf{F}. Temos
x(t)=a\cos t,\qquad y(t)=b\sin t,
logo
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\big(y(t)\big)^{2}\,\mathbf{i}+x(t)\,\mathbf{j}=b^{2}\sin^{2}t\,\mathbf{i}+a\cos t\,\mathbf{j}.
Explicando: basta trocar x por a\cos t e y por b\sin t.

Passo 4

Calculamos o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =\big(b^{2}\sin^{2}t\big)\big(-a\sin t\big)+\big(a\cos t\big)\big(b\cos t\big).
Multiplicando e agrupando:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=-a b^{2}\sin^{3}t + a b\cos^{2}t.
Podemos fatorar a b para simplificar a integração:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=a b\big(-b\sin^{3}t+\cos^{2}t\big).

Passo 5

Então a integral de linha parametrizada fica
I=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{\pi/2}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = a b\int_{0}^{\pi/2}\big(-b\sin^{3}t+\cos^{2}t\big)\,dt.
Explicando: podemos puxar a b para fora porque são constantes em relação a t.

Passo 6

Calculamos primeiro \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}t\,dt. Usamos a identidade \sin^{3}t=\sin t(1-\cos^{2}t) e a substituição u=\cos t, du=-\sin t\,dt:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}t\,dt=\int_{0}^{\pi/2}\sin t\,dt-\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cos^{2}t\,dt.
Fazendo u=\cos t na segunda integral:
\int_{0}^{\pi/2}\sin t\,dt=[- \cos t]_{0}^{\pi/2}=1,
\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cos^{2}t\,dt=\int_{u=\cos 0}^{u=\cos(\pi/2)}-u^{2}\,du=\int_{1}^{0}-u^{2}\,du=\int_{0}^{1}u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Portanto
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}t\,dt=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Explicando: essa é uma técnica padrão para potências ímpares de seno ou cosseno — separar um fator \sin t (ou \cos t) e usar substituição.

Passo 7

Calculamos agora \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,dt. Usamos a identidade de ângulo duplo:
\cos^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}.
Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,dt=\int_{0}^{\pi/2}\frac{1+\cos 2t}{2}\,dt =\frac{1}{2}\left[\;t+\frac{\sin 2t}{2}\;\right]_{0}^{\pi/2}.
Como \sin(\pi)=0 e \sin 0=0, obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}.

Passo 8

Voltando para I:
I=a b\left(-b\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}t\,dt+\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,dt\right) = a b\left(-b\cdot\frac{2}{3}+\frac{\pi}{4}\right).
Simplificando:
I=\frac{a b\pi}{4}-\frac{2a b^{2}}{3}.

Resposta

I=\frac{a b\pi}{4}-\frac{2a b^{2}}{3}

Exercícios relacionados