Calcule
, onde
e onde
é a curva definida por
, entre
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
. As informações que temos são:
onde
e
são constantes (os semi-eixos da elipse). O que nos é pedido é o valor numérico da integral de linha ao longo da curva parametrizada por
quando
varia de
a
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada da parametrização
. Diferenciando termo a termo:
Explicando:
é a velocidade ao longo da curva, obtida derivando
e
em relação a
.
Passo 3
Agora substituímos
e
pela parametrização dentro de
. Temos
logo
Explicando: basta trocar
por
e
por
.
Passo 4
Calculamos o produto escalar
:
Multiplicando e agrupando:
Podemos fatorar
para simplificar a integração:
Passo 5
Então a integral de linha parametrizada fica
Explicando: podemos puxar
para fora porque são constantes em relação a
.
Passo 6
Calculamos primeiro
. Usamos a identidade
e a substituição
,
:
Fazendo
na segunda integral:
Portanto
Explicando: essa é uma técnica padrão para potências ímpares de seno ou cosseno — separar um fator
(ou
) e usar substituição.
Passo 7
Calculamos agora
. Usamos a identidade de ângulo duplo:
Assim
Como
e
, obtemos
Passo 8
Voltando para
:
Simplificando: