Calcule I=\int_{C}(y+x) d x-x y^{2} d y, onde C é a parábola de equação x=y^{2} e onde 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral
I=\int_{C}(y+x)\,dx - x y^{2}\,dy,
onde C é a porção da parábola dada por x=y^{2} com 0\le x\le 1. Informações importantes que o enunciado dá e que vamos usar: \n
  • A equação da curva é x=y^{2}. \n
  • O intervalo para x é 0\le x\le 1. A partir disso decorre que y varia entre -1 e 1, isto é y\in[-1,1]. \n
  • A integranda está dada na forma P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy com P(x,y)=y+x e Q(x,y)=-x y^{2}. \n
    Nada mais será assumido aqui; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Escolhendo o método: como a curva está dada explicitamente por x em função de y (ou seja x=y^{2}), a forma mais direta é parametrizar a curva por y como parâmetro. Vou usar o parâmetro t com y=t. \n
Lembrete prático (fórmula que vamos usar): se temos uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) para t em um intervalo [a,b], então
\int_{C} P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = \int_{a}^{b} \bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Aqui x'(t) e y'(t) são as derivadas das coordenadas em relação a t. Essa é a definição básica de integral de linha de uma forma diferencial P\,dx+Q\,dy.

Passo 3

Parametrização concreta: tomo t igual a y. Assim escolho
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=t,\qquad t\in[-1,1],
porque para t\in[-1,1] temos x=t^{2}\in[0,1] cobrindo exatamente a porção pedida da parábola. Agora calculo as derivadas:
x'(t)=2t,\qquad y'(t)=1.

Passo 4

Substituo x(t), y(t), x'(t), y'(t) na expressão P\,x' + Q\,y'. Primeiro escrevo P e Q ao longo da parametrização:
P(x(t),y(t)) = y(t)+x(t) = t + t^{2},
Q(x(t),y(t)) = -x(t)\,y(t)^{2} = -t^{2}\cdot t^{2} = -t^{4}.
Agora multiplico por x'(t) e y'(t):
P(x(t),y(t))\,x'(t) = (t + t^{2})(2t) = 2t^{2} + 2t^{3},
Q(x(t),y(t))\,y'(t) = -t^{4}\cdot 1 = -t^{4}.
Somando,
P\,x' + Q\,y' = 2t^{2} + 2t^{3} - t^{4}.
Portanto o integral se reduz a
I=\int_{-1}^{1} \bigl(2t^{2} + 2t^{3} - t^{4}\bigr)\,dt.

Passo 5

Calculando o integral. É útil separar em três integrais:
I=\int_{-1}^{1} 2t^{2}\,dt + \int_{-1}^{1} 2t^{3}\,dt - \int_{-1}^{1} t^{4}\,dt.
Observações úteis sobre simetria: t^{2} e t^{4} são funções pares, então suas integrais simétricas reduzem a duas vezes a integral de 0 a 1. t^{3} é função ímpar, então a integral simétrica de -1 a 1 é zero. Assim:
\int_{-1}^{1} 2t^{3}\,dt = 0.
Calculo os outros dois:
\int_{-1}^{1} 2t^{2}\,dt = 2\cdot \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = 2\cdot\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}\right) = 2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3},
\int_{-1}^{1} t^{4}\,dt = \left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{5}}{5}-\frac{(-1)^{5}}{5}=\frac{2}{5}.
Portanto
I=\frac{4}{3} - \frac{2}{5}.

Passo 6

Faço a subtração final com denominador comum 15:
\frac{4}{3}-\frac{2}{5} = \frac{20}{15}-\frac{6}{15}=\frac{14}{15}.
Um pequeno comentário final: eu escolhi o parâmetro t aumentando de -1 a 1 (isto é, percorri a parábola de baixo para cima). Se alguém tivesse percorrido a curva no sentido oposto, o valor do integral mudaria de sinal, porque a integral de linha de uma forma diferencial P\,dx+Q\,dy depende da orientação. Aqui, com a orientação usada, obtemos \tfrac{14}{15}. Força aí — deu certo!

Resposta

\displaystyle \frac{14}{15}

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