Calcule
, onde
é a parábola de equação
e onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral
onde
é a porção da parábola dada por
com
. Informações importantes que o enunciado dá e que vamos usar: \n
- A equação da curva é
. \n - O intervalo para
é . A partir disso decorre que varia entre e , isto é . \n - A integranda está dada na forma
com e . \n
Nada mais será assumido aqui; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Escolhendo o método: como a curva está dada explicitamente por
em função de
(ou seja
), a forma mais direta é parametrizar a curva por
como parâmetro. Vou usar o parâmetro
com
. \n
Lembrete prático (fórmula que vamos usar): se temos uma curva parametrizada por para
em um intervalo
, então
Lembrete prático (fórmula que vamos usar): se temos uma curva parametrizada por
Aqui
e
são as derivadas das coordenadas em relação a
. Essa é a definição básica de integral de linha de uma forma diferencial
.
Passo 3
Parametrização concreta: tomo
igual a
. Assim escolho
porque para
temos
cobrindo exatamente a porção pedida da parábola. Agora calculo as derivadas:
Passo 4
Substituo
,
,
,
na expressão
. Primeiro escrevo
e
ao longo da parametrização:
Agora multiplico por
e
:
Somando,
Portanto o integral se reduz a
Passo 5
Calculando o integral. É útil separar em três integrais:
Observações úteis sobre simetria:
e
são funções pares, então suas integrais simétricas reduzem a duas vezes a integral de
a
.
é função ímpar, então a integral simétrica de
a
é zero. Assim:
Calculo os outros dois:
Portanto
Passo 6
Faço a subtração final com denominador comum
:
Um pequeno comentário final: eu escolhi o parâmetro
aumentando de
a
(isto é, percorri a parábola de baixo para cima). Se alguém tivesse percorrido a curva no sentido oposto, o valor do integral mudaria de sinal, porque a integral de linha de uma forma diferencial
depende da orientação. Aqui, com a orientação usada, obtemos
. Força aí — deu certo!